小学数学思想与方法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,小学数学渗透数学思想与方法的思考,学习没有捷径,只有技巧和方法,思考,:,1.,在一个减法算式里,被减数、减数,、差的和除以被减数,商是多少,?,2.,计算,转化思想,3.,如图,求长方形,BDEF,的面积,?,补,4.,如图,:,在一个三角形中有一个正方形,求空白部分的面积是多少,?,旋转法,两个空白三角形拼成一个直三角形,5.,在直角三角形中,AB=20,厘米,BC=30,厘米,在其内作一个正方形,EOFB,求正方形,EOFB,的面积,?,代数法,解,:,设正方形边长为,6.,一根绳子对折,对折再对折,从中间剪一刀,一共有几段,?,一,、数学思想方法定义,数学思想,:,是指数量关系和空间形式反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果,是对数学知识和方法的本质认识,是对数学规律的理性认识,.,数学方法,:,是数学思想的表现形式得以实现的手段,方法,指向,实践,;,而数学思想是数学方法的,灵魂,它指导方法的运用,.,数学思想具有概括性和普遍性,而方法则具有操作性和具体性,;,数学思想比数学方法更深刻,、更抽象地反映数学对象间的内在关系,是数学方法进一步的概括与升华,.,关于数学思想方法,北京师范大学钱佩玲教授指出,:,“,数学思想方法是数学内容为载体,基于数学知识,又高于数学知识的一种隐性知识,”,是处理数学问题的指导思想和策略,是数学的,灵魂,.,中国科学院院士,数学家张景中先生曾指出,:“,小学生的数学很初等,很简单,.,但尽管简单,里面却蕴涵一些深刻的数学思想,.”,关于数学思想方法的重要性,“,很早就有这样的认识,:,学习数学不仅要学习它的知识内容,而且要学习它的精神,、思想和方法,.,掌握基本数学思想方法能使数学更易于理解与记忆,领会数学思想方法是通向迁移大道的,光明之路,”.,结合小学数学的具体内容渗透数学思想方法,不仅能使小学生更好地理解和掌握数学内容,更有利于小学生感悟数学思想方法,.,二,、数学课程标准对渗透数学思想方法的要求,.,教育部,2001,年颁发的,全日制义务教育课程标准,(,实验稿,),基本理念中,4.,教师应激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事实现活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、,数学思想和方法,获得广泛的实现活动经验,.,第二部分 总体目标,:,获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的重要数学知识,(,包括数学事实,、数学活动经验,),以及,基本的数学思想方法,和必要的应用技能,;,第一次将,“,基本的数学方法,”,作为学生学习的,目标之一,改变了长期形成的,“,双基,”,(,数学基本知识、基本技能,),教与学的目标,.,在“课程实施建议”中多次提出,要根据小学生已有经验,心里发展规律以及所学内容的特点,采用逐步渗透,、螺旋上升,引导学生感悟数学思想方法,.,基于,“,全面知识,”,的数学观和教学观,数学课程重视数学思想方法,关注学生在数学学习过程中对数学思想方法的感悟,更加关注的数学思想方法本身,而,不仅仅是通过渗透数学思想方法加深对数学知识的理解,.,新目标不仅关注显性的“双基”,而且关注隐性的数学思想方法,注重“双基”与数学思想方法的结合,使二者相互促进形成有机整体,这并不是对传统特色的否定,而恰恰是对数学教学“双基”特色的继承和发展,.,实现这一目标,需要在数学活动中,继续促进学生理解知识,掌握基本技能,同时启发他们领会数学思想方法,真正促进他们全面,、持续、和谐发展,.,教育部,2011,年颁发的,全日制义务教育课程标准,基本理念,:2.,它不仅包括数学的结果,也包括数学结果的形成和,蕴涵的数学思想方法,.3.,使学生理解和掌握基本的数学知识与技能,体会和运用数学思想与方法,获得基本的教学活动经验,.,第二部分 课程目标,一,、总目标,:,1.,获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学知识、基本技能、,基本思想,、基本活动,.(,简称四基,),数学思考,:,学会独立思考,体会数学的,基本思想,和思维方式,.,三,、小学数学几种常用的数学思想方法,小学数学中,蕴涵的数学思想方法很多,最基本的数学思想方法有转化思想方法、类比思想方法、数形结合思想方法、模型思想方法、极限思想方法、分类思想方法等,.,(,一,),从整体上看问题的思想方法,解数学题常常化“整”为“零”,使问题变得简单,有利于问题的解决,不过有时则反其道而行之,需要由“局部”到“整体”,.,站在整体的立场上,从问题的整体考虑,综观全局研究问题,通过研究整体结构,整体形式来把握问题的本质,从中找到解决问题的途径,.,成语“一叶障目”和“只见树木,不见森林”的意思是如果过分注意细,节,而忽视全面,就不会真正地理解一个东西,解数学题也是这样,有时候不能过分拘泥于细节,要适时调整视觉,注意从整体上看问题,即着眼于问题的全过程,抓住其整体的特点,往往能达到化繁为简,变难为易的目的,促使问题的解决,.,我国著名数学家苏步青教授,有一次到德国去,遇到一位有名的数学家,他在电车上出了一道题让苏教授做,这道题目是,:,例,1:,甲,、乙两人同时从两地,相向而行,距离是,50,千米,甲每小时走,3,千米,乙每小时走,2,千米,甲带着一只狗,狗每小时跑,5,千米,这只狗同甲一起出发,碰到乙的时候它就掉头往甲这边跑,碰到甲的时候它就掉头往乙这边跑,碰到乙的时侯再往甲这边跑,直到两人相遇为止,问这只狗一共跑了多少千米,?,着眼于“狗不断跑”,这个全过程,抓住“直到甲,、乙相遇为止,”,这个整体去分析,知道狗跑的时间就是甲,、乙两人相遇时间,.,例,2:,有甲,、乙、丙三种货物,若购甲,3,件,乙,7,件,丙,1,件共需,315,元,;,若购甲,4,件,乙,10,件,丙,1,件共需,420,元,问购甲、乙、丙各,1,件共需多少元,?,315,3-420,2,例,4.,如图一个正方体的木块,棱长,3,米,沿水平方向将它锯成,4,片,每片锯成,5,长条,每条又锯成,6,小块,这样就得到大大小小的长方体,120,个,这,120,个的表面积之和是多少平方米,?,例,5.,搬运一个仓库的货物,甲需要,10,小时,乙需要,12,小时,丙需要,15,小时,有同样的仓库,A,和,B,甲在,A,仓库,乙在,B,仓库同时开始搬运货物,丙先帮甲搬运,中途又转向乙搬运,最后两个仓库的货物搬完,.,问丙帮甲,、乙各搬运几小时,?,两个仓库搬完要几小时,?,帮甲几小时,?,例,6.,已知两个正方形的面积差为,200,平方厘米,求两圆的环形的面积,?,(,二,),转化,(,化归,),的思想方法,数学知识是一个整体,它的各部分之间相互联系,有时也可以相互转化,.,转化可以将数的一种形式转化为另一种形式,一种运算转化为另一种运算,一个关系转化为另一个关系,一个量转化另一个量,一种图形转化另一种或几种图形,使一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象,.,为了有利于学生学习和研究,我们注意将新知识转化成学生,已学过的知识,将较为复杂的问题转化成比较简单的问题,.,例如,把小数乘法的计算转化为整数乘法的计算,把分数除法的计算转化为分数乘法的计算,把不规则图形的面积计算转化成规则图形的面积计算,.,实际上,除了长方形的面积计算公式外,其它平面图形面积计算公式的推导,我们都是变换原来的平面图形,帮助学生把对“新”图形的认知转化成对“旧”图形的改造与提升,在“新”“旧”知识的联系中寻找到解决“新”知的方,法,.,研究平行四边形面积的计算时,我们把一个平行四边形“剪”“拼”转化成长方形来计算面积,;,研究三角形,、梯形面积的计算时,我们把两个相同的三角形、梯形分别拼成一个平行四边形来计算面积,;,研究圆面积的计算时我们把一个圆平均分成,16,32,64,份,剪开拼成一个近似的平行四边形,由此想象无限分割,(,极限思想方法,),拼成的图形是一个长方形,.,指导思想化圆为方,通过有限,分割想象无限分割,渗透极限思想方法,.,这样,就将原来的图形通过 剪、拼等途径加以,“,变形,”,化难为易,例,1.,在,18,世纪的德国有个城市叫做哥尼斯堡,在这个城市中,有一条河叫布勒格尔河,横 贯城区,在这条河上共架有七座桥,一个人要一次走过这七座桥,但每座只许走一次,如何走才能成功呢,?,例,3.,如图已知正方形,ABCD,和正方形,CEFG,连接,且正方形,ABCD,的边长为,10,厘米,那么图中三角形,BDE,面积是多少平方厘米,?,解,:,连接,CE,因为,BOC,的面积与,DOE,面积相等,三角形,BDE,的面积就是正方形,ABCD,面积的一半,例,4,如图,AEF,的面积比,DEC,的面积大,10.5,平方厘米,求线段,BC,的长度,?,把条件,:,AEF,的面积比,DEC,的面积大,10.5,平方厘米,转化为,长方形,ABDF,的面积比,ABC,面积大,10.5,平方厘米,.,(6,4-10.5),2,6,例,5,一项工程,甲,、乙合作要,12,天完成,若甲先做,3,天后再乙工作,8,天,共完成,这件工作的 如果这件工作由甲、乙,单独做各要几天,?,把甲先做,3,天后再乙工作,8,天转化为,甲乙合作,3,天再由乙做,(8-3),天,例,6,甲,、,乙,、丙、丁四人去买电视机,甲带的钱是另外三人所带总钱数的一半,乙带的钱是另外三人所带总钱数的,丙带的钱是另外三人所带总钱数的,丁带,910,元,四人所带的总钱数是多,少元,?,转化单位“,1,”,四人所带的总钱数为单位“,1,”,例,7,甲,、乙两数是不相等的自然数,甲数的 与乙数的 相等,那么甲、,乙两数的和最小是多少,?,(,三,),抓不变量的思想方法,大千世界在不断的变化着,既有质的变化,更有量的变化,俗话说,:“,万变不离其宗,”,在纷乱多样的变化中,往往隐藏着某种规律,这就需要透过表面现象,找出事物变化中保持的规律,从“万变”中揭示出“不变”的数量关系,寻求某种不变性,在科学上称为守恒,在数学上就是不变量,.,例,1,今年,祖父的年龄是小明年龄的,6,倍,几年后,祖父的年龄是小明年龄的,5,倍,又过几年,祖父的年龄是小明年龄的,4,倍,求祖父今年多少岁,?,抓住年龄差不变,小明今年多少岁,?,60(6-1)=12(,岁,),祖父今年多少岁,?,12,6=72(,岁,),例,2,要把,4,千克,10%,的盐水兑换成,20%,的盐水,请你提供几种方案,?,方案一,:,加盐,抓住水不变,4,(1-10%),(1-20%)-4,方案二,:,蒸发水,抓住盐不变,4-4,10%,20%,例,3,某工厂有两个车间,一车间是二车间的,后来从一车间调,2,人到二车间,这时一车间是二车间的,一车间原有多少人,?,本题抓住两车间总人数不变,然后转化关键句,.,例,4,某公司的女工占职工总人数的,扩大规模后又招进,30,名女工,这时女工占职工总人数的,该公司原有职工多少人,?,本题抓住男职工人数不变,方法一,:,方程,解,:,设该公司原有职工,人,方法二,(,四,),设数法的思想方法,1.,学习假设具体数据分析推导的方法,.,2.,用“以实代虚”的解题策略分析解决实际问题,.,有些数学问题,突出地反映数学本身的抽象性,这些问题有的看上去似乎数据不全,有的甚至没有一个具体的数据,可题目却要计算结果,让人为难,这么办,?,用假设具体数据的方法分析推导,不仅能使抽象的问题具体化,以利于理解和掌握题中的数量关系,而且因为有具体数据,推算起来更方便,.,例,1,甲校学生人数是乙校人数的,40%,甲校女生人数是本校学生人数的,30%,甲校男生是乙校人数的百分之几,?,例,2,某商店出售画册,每出售一册可获利润,18,元,售出 后,每册减价,10,元出,售,全部售完,共获利,3000,元,这个商店共出售画册多少册,?,5,册一组,前,2,册每册利润,18,元,后,3,册每册利润,(18-10),元,.,18,2+(18-10),3=60(,元,),300060,5=250(,册,),例,3,一辆汽车,上山每小时行,20,千米,下山按原路返回,每小时,30,千米,这辆汽车往返平均每小时行多少千米,?,上下山的平均速度,=,上,、下山的路程,上、下山的时间,例,4,小红爸爸每天下午,4:30,将车开到校门口接小红回家,今天学校,3:30,提前放学,小红就步行回家,路上遇到爸爸的车接她回家,结果就比平时早到家,30,分钟,小红今天步行了多少分钟,?,例,5,某艺术表演入场券,30,元一张,若降价后观众增加一半,而收入增加了,某张入场券降为多少元,?,例,6,有甲,、乙、丙三辆汽车,各以一定的速度从,A,地开往,B,地,乙比丙晚出发,10,分钟,经过,40,分钟追上丙,;,甲比乙晚出发,20,分钟,经过,50,分钟追上乙,问甲出发后多少分钟追上丙,?,例,7,直角梯形,ABCD,的中位线,EF,长,12,厘米,已知三角形,ABG,的面积是梯形面积的,求,EG,的长,?,例,8,一根长木棍上画三种刻度线,第一种将木棍分成十等份,第二种将木棍分成十二等份,第三种将木棍分成十五等份,如果沿着每条刻度线将木棍锯成小段,那么一共锯成了多少段,?,例,9,某人现在坐上公交车,忽然,发现一个小偷向相反方向步行,10,秒后他下车去追小偷,如果其速度比小偷快一倍,比汽车速度慢,追上小偷要多少秒,?,例,10,一次考试共有,5,道试题,.,做错第,1,、,2,、,3,、,4,、,5,题的人数的,15%,、,5%,、,10%,、,25%,、,20%,如果做对三题或三题以上为及格,那么这次考试的及格率至少是多少,?,(,五,),枚举,、筛选、分类的思想方法,在解决问题时,把所有可能的情况不重复,又不遗漏地一一列举出来,称为,枚举,.,在这个过程中重复的和不合要求的要除去,遗漏的要找回来,称为,筛选,.,分类是以比较为基础,按照数学对象本质属性相同点和差异,将数学对象分为不同的种类,.,对数学对象的分类必须科学,、统一,每一次划分时分类的标,准只能一个,不能交叉地使用几个不同的标准,要使分类,既不重复也不遗漏,.,例如,根据角的大小三角形分为锐角三角形,、直角三角形、钝角三角形三类,.,再如,非零自然数,以因数的个数可以分为质数、合数和,1,三类,.,是否是,2,的倍数可以分为奇数和偶数两类,.,通过分类,学生可以体会和理解不同的分类标准会有不同的分类结果,从而产生新的数学概念和数学知识结构,使所学数学知,识条理化,.,例,1,今有长度分别为,1,厘米,、,2,厘米、,3,厘米、,、,9,厘米的木棍各一根,(,规定不许折断,),从中选用若干根组成正方形,可以多少种不同的方法,?,例,2,数,1447,1005,1231,有共同的特征,它们都以,1,开头,仅含有两个相同的数字,且都是四位数,问具有这样特征的数共有多少个,?,例,3,从,1,到,400,的所有自然数中不含数字,3,的自然数有多少个,?,例,4,十位数字大于个位数字的两位数共有多少个,?,例,5,数一数图中共有多少个三角形,?,例,6,数一数图中共有多少个三角形,?,(,六,),类比的思想方法,在解题时,如果发现要解决的问题与一个已知解决问题相似,我们就可以按照已经解决过的办法,来解决所要求的新问题,.,这种通过两个对象的类似之处的比较,从而推出它们的其它方面也可能有类似之处的推理方法叫做类比的思想方法,.,类比的思想方法是一种重要的思考方法,在小学数学中有着广泛的应用,.,例如在学习“比的基本性质”时,可以从除法,、分数的基本性质出发,通过类比而得到比的基本性质,;,又如在解答钟表问题时可以与环形跑道问题类比,.,例,1 6,点钟,分针和时针在一条直线上,至少经过多少时间,两针正好重合,?,例,2,王叔叔有一只手表,他发现手表比家里的闹钟每小时快,30,秒,而闹钟却比标准时间慢,30,秒,那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差多少秒,?,例,3,大雪后的一天,小明和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长,他俩的起点和走的方向完全相同,小明每步长,54,厘米,爸爸每步长,72,厘米,由于两人脚印有重合,所以雪地上留下了,60,个脚印,求这个花圃的周长是多少米,?,例,4,一列快车由甲城开往乙城需要,8,小时,一列慢车由乙城开往甲城需要,12,小时,.,两车同时从两城开出,相遇时快车比慢车多行,19.2,千米,求两城相距多少千米,?,(,七,),数形结合的思想方法,数学是研究数量关系和空间形式的科学,数形结合就是根据数量与图形之间的关系,借助“形”的直观来表达数量关系,应用“数”来刻画研究形,把抽象的数学语言,、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来考虑,通过,“,以形助数,”,或,“,以数助形,”,使抽象思维与形象思维结合起来,将复杂,问题简单化,抽象问题具体化,达到解决问题的目的,.,根据知识的特点和小学生的思维发展水平,我们主要通过线段图,、长方形面积图、树形图等,把一定的数量关系形象直观表达出来,帮助学生从图形的直观特征中发现数量之间存在的联系,以形助数来化隐为显,化难为易,.,例,1 (a+b)c=ac+bc,例,2,计算,:,例,3,某城市东西路与南北路交汇路口,A,南边,560,米处的,B,点,乙在路口,A,甲向北,乙向东同时均速行走,4,分钟后两人距,A,的距离相等,再继续行走,24,分钟,两人距,A,地距离恰好相等,.,问甲,、乙两人的速度各是多少,?,例,4,甲,、乙两人在河中先后从同一地方同速同向游动,现在甲位于乙的前方,乙距起点,20,米,;,当乙游到甲现在的位置时,甲已离起点,98,米,问,:,甲现在离起点,( ),米,.,例,5,两名男女运动员在长,110,米斜坡上练习跑步,两人同时从坡顶出发,在,A,、,B,之间不停地往返奔跑,(B,为坡底,),如果男运动员上坡速度是每秒,3,米,下坡速度是每秒,5,米,女运动员上坡速度是每秒,2,米,下坡速度是每秒,3,米,两人第二次迎面相遇的地点离坡顶,A,多少米,?,(,八,),模型的思想方法,模型思想,的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径,.,建立和求解模型的过程包括,:,从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,用数学符号建立方程,、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律,求出结果并讨论结果的意义,提高学习数学的兴趣和应用意识,.,例,1,恰好有,6,个因数的两位数共有,( ),个,.,例,2,有一牧区长满牧草,每天牧草均速生长,这牧区的草可供,27,头牛食用,6,周,;,供,23,头牛食用,9,周,.,问供,21,头牛食用几周,?,(,九,),极限的思想方法,极限思想,是微积分的基本思想,.,所谓极限思想是用联系变动的观点,把所考察的对象看作是某对象在无限变化过程中变化结果的思想,.,它来源于对过程无限变化的考察,而这种考察总是与某一特定的,、有限的、暂时的结果有关,.,因此,它体现了,“,从有限中找到无限,从暂时中找到永久,并且使之确立,起来的一种辩证思想,.,纵观微积分的全步内容,极限思想,、方法极其理论贯穿始终,是微积分的基础,.,现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透,.,在,“,自然数,”“,奇数、偶数,”,这些概念教学时,教师可让学生体会自然数是数不完的,奇数、偶数的个数有无限个,让学生初步体会,“,无限,”,思想,;,在直线、射线、平行线的教学时,可让学生体会线的两端是可以无限延长的,.,例,1,圆面积公式推导,.,例,2,比较,1,和 的大小,.,(,十,) “,退”到基本处想的思想方法,1.,学习把原题“退”到基本处,从中找到解题规律的策略,.,2.,运用“退”的解题策略分析,解答实际问题,.,有些数学问题,看上去非常繁杂,或是数据庞大,让人眼花缭乱,;,或步骤太多,让人找不着边际,;,或是数量关系隐蔽,让人无从下手,怎样分析,解答这类繁,难的问题呢,?,我们常常采用“退”的策略,“,退,”,到最基本处,从中寻找解题的规律,.,这里所说的“退”就是一种把原来的题目“简缩”成为一个很简单但又不失其本质,且基本形式不变的问题,使数据大大减少,步骤缩到原始的几步,也就较为容易地发现规律,解决原题的策略,.,例,1.,在,10,10,的方格中,画一条直线最多可穿过,( ),个方格,.,例,2,小红每分钟吹一次肥皂泡,每次恰好吹出,100,个,肥皂泡吹出后,经过一分钟有,50,个破了,经过两分钟还有,5,个没有破,经过两分钟半肥皂泡全破了,小红在第,20,次吹出,100,个新肥皂泡的时候,没有破的肥皂泡有,( ),个,.,例,3,在一张纸上画,100,条直线,这些直线最多把这张纸分成多少块,?,例,4,正方形,ABCD,的内部有,200,个点,以正方形的,4,个顶点和内部的,200,个点为顶点,将它剪成三角形,.,问一共可以剪成多少个三角形,?,共需剪多少刀,?,(,十一,),有序思考的思想方法,按照一定顺序去观察,分析和思考,我们称之谓“有序思考”的思想方法,.,这里所说的序,是根据题目的特点而总结,概括后序,或先后,、大小、或远近、或内外等,.,如果不能牢牢地把握住,“,序,”,要是遇到较复杂的难题,观察、分析和思考都将失去章法,就会造成重重困难,甚至无从下手了,.,有序思考既是一种良好的思维习惯,同时更是一种科学的思维方法,.,例,1,用,48,个棱长,1,厘米的小正方体,摆成形状不同的一个大长方体,一共有多少种不同摆法,?,其中表面积最小的是多少平方厘米,?,(,十二,),杂题,例,1,如图,在半径,12,厘米的圆中,有两条互相垂直线段,圆,分成,A,、,B,两部分,圆心到这两条线段的距离分别是,3,厘米、,6,厘米,那么,A,与,B,的面积相差多少平方厘米,?,对称原理,(6,2),(3,2)=72(,平方厘米,),例,2,骑车人以每分钟,300,米的速度,从,102,路电,车始发站出发,沿,102,路电车线路前进,骑车人离开出发地,2100,米时,一辆,102,路电车开出了始发站,这辆电车每分钟行,500,米,行,5,分钟到达一站停车,1,分钟,那么需要多少分钟电车追上骑人,?,列表法,汽车,5,分钟追上骑车人多少米,?,(500-300),5=1000(,米,),时间,相距,开始,2100,5,1100,5+1=6,1400,6+5=11,400,11+1=12,700,例,3,两个运动员在长,30,米的游泳池里来回游泳,甲的速度是每秒,1,米,乙的速度是每秒,0.6,米,如果他们同时从游泳池的两端出发,来回共游,10,分钟,且不计算转身时间,那么一共相遇多少次,?,时间运行图,例,4,放缩法,例,5,如图,正方形,ABCD,的边长是,10,厘米,E,、,F,分别是,CD,、,BC,的中点,求四边形,CEFG,的面积,?,旋转法,