行程问题之环形跑道

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,行程问题,之,环形跑道,环形道路上的行程问题本质上讲就是,追及问题或相遇问题,。当二人或二物,同时,运动时就是追及问题，追及距离是二人,初始距离及环形道路之长的倍数之和,；当二人或二物,反向,运动时就是相遇问题，相遇距离是二人,从出发到相遇所行路程和,。,环形路上的行程问题,追及问题,相差路程,速度之差,=,追上时间,追上时间,速度之差,=,相差路程,相差路程,追上时间,=,速度之差,相遇问题,速度之和,相遇时间,=,相遇路程（路程之和）,相遇路程,相遇时间,=,速度之和,相遇路程,速度之和,=,相遇时间,解决问题专项训练,1.,甲乙两人在,400,米的环形跑道上跑步，两人朝相反的方向跑。两人第一次和第二次相遇间隔,40,秒，已知甲每秒跑,6,米，乙每秒跑多少米？,甲乙两人从第一次到第二次相遇共走：,400,米,40040=10,（米,/,秒）,10,6=4,（米,/,秒）,答：乙每秒跑,4,米。,复习：,2.,甲乙两人同时从,A,点反向出发，沿,400,米环形跑道行走，甲每分钟走,80,米，乙每分钟走,50,米，这两人至少用多少分钟再在,A,点相遇？,甲走一圈的时间：,40080=5,（分）,乙走一圈的时间：,40050=8,（分）,因为,5,和,8,的最小公倍数是,40.,所以两人至少用,40,分钟再在,A,点相遇。,3.,如图，在一圆形跑道上。小明从,A,点出发，小强从,B,点同时出发，相向行走。,6,分钟后，小明与小强相遇，再过,4,分钟，小明到达,B,点，又再过,8,分钟，小明与小强再次相遇。问小明环形一周要多少时间？,分析：,小明走,4,分钟的路程相当于小强走,6,分钟的路程。,从第一次相遇到第二次相遇小明走了：,4+8=12,（分）,小明走,12,分钟，小强同样也走,12,分钟，但小强走,12,分钟的路程，小明只需走,8,分钟。,所以小明走一周要：,12+8=20,（分钟）,经典题目训练,1.,甲、乙两运动员在周长为,400,米环形跑道上同向竞走，已知乙的平均速度是每分钟,80,米，甲的平均速度是乙的,1.25,倍，甲在乙前面,100,米处。问几分钟后，甲第,1,次追上乙？,乙,甲,甲的速度：,801.25=100,米,/,分,（,400,100,）,（,100,80,）,=15,（分）,答：,15,分钟后，甲第一次追上乙。,同一点出发，,距离差,=,跑道长,2,如图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑,250,米，乙每分钟跑,200,米。两人,同时,同地,同向,出发，,45,分钟后甲追上了乙。如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？,250,分,乙,甲,乙,甲,200,分,250,分,200,分,（,1,）,（,2,）,追上时间,速度之差,=,相差路程,（跑道长）,跑道长：,45,（,250,200,）,=2250,（米）,相遇路程,速度之和,=,相遇时间,相遇时间：,2250,（,250+200,）,=5,（分钟）,答：经过,5,分钟两人相遇。,同一点出发，,距离差,=,跑道长,3.,甲乙从,360,米的环形跑道上的同一地点同向跑步。甲每分钟跑,305,米，乙每分钟跑,275,米。两人起跑后，第一次相遇在离起点多少米处？,360,（,305,275,）,=12,（分）,甲：,30512=3660,（米）,共跑的圈数：,3660360=10,（圈）,60,（米）,答：第一次相遇在离起点,60,米处。,4,下图是一个圆形中央花园，,A,、,B,是直径的两端。小军在,A,点，小勇在,B,点，同时出发相向而行。他俩第,1,次在,C,点相遇，,C,点离,A,有,50,米；第,2,次在,D,点相遇，,D,离,B,有,30,米。问这个花园一周长多少米？,B,A,C,D,小军,小勇,分析：,第,1,次相遇两人合起来走了半周长，从,C,点开始到,D,点相遇两人共走了一周长，两次共走了一周半。,小军：,A C D,走了,50,米的,3,倍。,503=150,（米）,半周：,150,BD(30,米,),周长：（,150,30,）,2=240,（米）,答：这个花园一周长,240,米。,5,已知等边三角形,ABC,的周长为,360,米，甲从,A,点出发，按逆时针方向前进，每分钟走,55,米，乙从,BC,边上,D,点（距,C,点,30,米）出发，按顺时针方向前进，每分钟走,50,米。两人同时出发，几分钟相遇？当乙到达,A,点时，甲在哪条边上，离,C,点多远？,A,B,C,D,30,乙,甲,甲乙两人的相遇时间：,乙从,D,到,A,用的时间：,（,36032,30,）,（,55+50,）,=2,分,21050=4.2(,分,),乙到,A,点时甲走的路程：,554.2=231(,米,),这时甲在,BC,边上，离,C,点的距离：,36032,231=9(,米,),90m,6,如图，一个边长为,100,米的正方形跑道。甲从,A,点出发，乙从,C,点出发都逆时针同时起跑，甲的速度每秒,7,米，乙的速度每秒,5,米。他们拐弯处都要停留,5,秒，当甲第一次追上乙时，乙跑了多少米？,乙,甲,A,D,B,C,100,米,100,米,7,米,/,秒,5,米,/,秒,分析：,甲乙相距,200,米（相差距离）。且甲第一次追及乙要多拐两个弯。即要多休息,5+5=10,秒钟。,甲走的路程乙走到路程,=200,米,解：设甲纯跑步时间为,x,秒。则乙跑步的时间为,x+10,秒。,7x,5,（,x+10,）,=200,x=125,甲跑的路程是：,1257=875,（米）,当甲跑的,800,米时用时：,8007+57149.28,（秒）又离开,A,点。,而乙到达,A,点再离开时用时：,6005+56=150,（秒）,因此：从起跑到,149.28,秒至,150,秒的间隔内甲乙都在,A,点。,所以：甲第一次追上乙，此时乙跑了,600,米。,7,一个圆的周长为,1.44,米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发，沿圆周相向爬行。,1,分钟后它们都调头而行，经过,3,分钟，它们又调头而行，依次按照,1,、,3,、,5,、,7,、,（连续奇数）分钟调头爬行。这两只蚂蚁每分钟分别爬行,5.5,厘米和,3.5,厘米，那么，经过多少时间，它们初次相遇？再次相遇需要多少时间？,A,B,分析：,半圆的周长：,1.442=0.72,米,=72,厘米,折返情况如下表：,如果不折返：,72,（,5.5+3.5,）,=8,分钟,经过时间（分）,在上半圆爬行时间,在下半圆爬行时间,1,3,5,7,9,11,13,15,1,2,3,4,5,6,7,8,所以在,15,分钟的那次爬行中，两只蚂蚁在下半圆爬行刚好都是,8,分钟。,则它们从出发到初次相遇经过的时间是：,1+3+5+7+9+11+13+15=64,分钟,第一次相遇在下半圆，折返向上半圆爬去，须爬行,17,分钟。去掉在下半圆的,8,分钟，在上半圆须爬行,17,8=9,分钟。但在上半圆爬行,8,分钟就会相遇，因此总时间用去了,8+8=16,分钟。,即：在第一次,64,分钟相遇后再过,16,分钟第二次相遇。,（相遇位置在上半圆）,经过时间（分）,在上半圆爬行时间,在下半圆爬行时间,16,1,3,5,7,9,11,13,15,1,2,3,4,5,6,7,8,8,8.,三个环形跑道相切排列，每个环形跑道的周长均为,210,厘米。甲、乙两只爬虫分别从,A,、,B,两地按箭头所示的方向出发，甲爬虫绕,1,、,2,号环形跑道作“,8”,字形循环运动，乙爬虫绕,3,、,2,号环形跑道作“,8”,字形循环运动，甲、乙两只爬虫的速度分别是每分钟,20,、,15,厘米。问甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米？,A,C,B,1,2,3,D,分析：,甲乙爬虫第一次相遇时，它们位于,2,号环形道的上方。它们共爬行了,3,个“半环形”。,第二次相遇时它们共爬行了,5,个“半环形”。,则相遇时间是：,210,2,5,（,20+15,）,=15,（分）,即：甲爬虫爬行了：,2015=300,（米）,9,.,甲用,40,秒可绕一环形跑道跑一圈，乙同时反方向跑，每隔,15,秒与甲相遇一次。问乙跑完一圈用多少秒？,解：设乙跑完一圈用,x,秒。,答：乙跑完一圈用,24,秒。,1,15,1,40,x,1,+,=,X=24,1.,有一条长,500,米的环形跑道。甲乙两人同时从跑道上某一点出发，反向而跑，,1,分钟后相遇；如果两人同向而跑，则,10,分钟后相遇，已知甲跑的比乙快，问甲乙两人每分钟各跑多少米？,甲乙速度之和：,5001=500,（米,/,分）,甲乙速度之差：,50010=50,（米）,甲：,答：甲每分钟跑,275,米，乙每分钟跑,225,米。,（,500+50,）,2=275,（米,/,分）,乙：,500,275=225,（米,/,分）,2.,小明在,360,米长的环形跑道上跑了一圈。已知他前一半时间每秒跑,5,米，后一半时间每秒跑,4,米，那么小明后一半路程用了多少秒？,解：设小明跑一圈用,x,秒。,(x2)5+(x2)4=360,X=80,前一半用时：,1805=36,（秒）,后一半用时：,80,36=44,（秒）,答：小明后一半路程用了,44,秒。,3.,绕湖一周是,24,千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发，反向而行，小王以,4,千米,/,时的速度每走,1,小时后休息,5,分钟；小张以,6,千米,/,时的速度每走,50,分钟后休息,10,分钟。问两人出发后多少时间第一次相遇？,分析：,假设小王走了,2,小时,10,分：,42=8,（千米）,小张在这段时间走了：,2,(60,10),10+1=11,（千米）,此时两人相距：,24,8,11=5,（千米）,则现在相遇时间：,5,（,6+4,）,=0.5,（小时）,=30,分,第一次相遇时间：,2,小时,10,分,+30,分,=2,小时,40,分。,4.,在,400,米环形跑道上，,A,、,B,两点相距,100,米。甲乙两人分别从,A,、,B,两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲每秒跑,5,米，乙每秒跑,4,米，每人跑,100,米，都要停,10,秒。那么甲追上乙需要多长时间？,分析：,如果不考虑休息时间则甲追上乙需要：,100,（,5-4,）,=100,（秒）,100,秒甲跑了：,5100=500,（米）,甲共休息了：,5-1=4,（次）,410=40,（秒）,100,秒乙跑了：,4100=400,（米）,乙共休息了：,410=40,（秒）,所以甲追上乙需要,100+40=140,秒。,5.,在周长为,200,米的圆形跑道一条直径的两端，甲乙两人分别以,6,米,/,秒，,5,米,/,秒的速度同时同向出发，沿跑道行驶。问：,16,分钟内甲追上乙多少次？,甲,乙,分析：,16,分钟,=960,秒,16,分钟甲比乙多走：,960,（,6,5,）,=960,米,第一次追上乙只有,100,米。,所以,16,分钟内可以追上：,以后每一次追上要,200,米。,（,960,100,）,200=4,（次）,60,（米）,4+1=5,（次）,6.,如图：某单位围墙外面的小路是边长,300,米的正方形，甲乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。已知甲每分钟走,90,米，乙分钟走,70,米，问至少经过多长时间甲才能看到乙？,甲,乙,分析：,甲追上乙一条边的时间：,300,（,90,70,）,=15,（分）,15,分钟甲走了：,9015=1350,（米）,走的边数：,1350300=4.5,（条）,15,分钟乙走了：,7015=1050,（米）,走的边数：,1050300=3.5,（条）,两人相差一条边的距离,甲只要再走,0.5,条边就和乙在同一条边上了。就能看到乙了。,经过的时间：,300590=16,分,40,秒。,7.,在一个圆形跑道上，甲从,A,点、乙从,B,点同时出发，反向而行，,8,分钟后两人相遇。再过,6,分