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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,习题课,一、 曲线积分的计算法,二、曲面积分的计算法,线面积分的计算,第十一章,一、曲线积分的计算法,1.,基本方法,曲线积分,第一类,(,对弧长,),第二类,(,对坐标,),(1),选择积分变量,转化,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2),确定积分上下限,第一类,:,下小上大,第二类,:,下始上终,练习题,:,P244,题,3,(1), (3), (6),解答提示,:,计算,其中,L,为圆周,提示,:,利用极坐标,原式,=,说明,:,若用参数方程计算,则,P244,3,(1),P244,3,(3),.,计算,其中,L,为摆线,上对应,t,从,0,到,2,的一段弧,.,提示,:,P244,3,(6),.,计算,其中,由平面,y = z,截球面,提示,:,因在,上有,故,原式,=,从,z,轴正向看沿逆时针方向,.,(1),利用对称性及重心公式简化计算,;,(2),利用积分与路径无关的等价条件,;,(3),利用格林公式,(,注意,加辅助线的技巧,) ;,(4),利用斯托克斯公式,;,(5),利用两类曲线积分的联系公式,.,2.,基本技巧,例,1.,计算,其中,为曲线,解,:,利用轮换对称性,有,利用,重心公式,知,(,的,重心在原点,),例,2.,计算,其中,L,是沿逆,时针方向以原点为中心、,解法,1,令,则,这说明积分与路径无关,故,a,为半径的上半圆周,.,解法,2,它与,L,所围区域为,D,(,利用格林公式,),思考,:,(2),若,L,同例,2 ,如何计算下述积分,:,(1),若,L,改为,顺时针方向,如何计算下述积分,:,则,添加辅助线段,思考题解答,:,(1),(2),证,:,把,例,3.,设在上半平面,内,函数,具有,连续偏导数,且对任意,t, 0,都有,证明,对,D,内任意分段光滑的闭曲线,L,都有,两边对,t,求导,得,:,则有,因此结论成立,.,(2006,考研,),计算,其中,L,为上半圆周,提示,:,沿逆时针方向,.,练习题,:,P244,题,3,(5),; P245,题,6; 11.,3,(5),.,用格林公式,:,P245,6,.,设在右半平面,x ,0,内,力,构成力场,其中,k,为常数,证明在此力场中,场力所作的功与所取的路径无关,.,提示,:,令,易证,F,沿右半平面内任意有向路径,L,所作的功为,P245,11.,求力,沿有向闭曲线,所作的,其中,为平面,x + y + z =,1,被三个坐标面所截成三,提示,:,方法,1,从,z,轴正向看去沿,顺时针方向,.,利用对称性,角形的整个边界,功,设三角形区域为,方向,向上,则,方法,2,利用,公式,斯托克斯公式,例,4.,设,L,是平面,与柱面,的交线,从,z,轴正向看去,L,为逆时针方向,计算,解,:,记,为平面,上,L,所围部分的上侧,D,为,在,xOy,面上的投影,.,由,斯托克斯公式,公式,D,的形心,二、曲面积分的计算法,1.,基本方法,曲面积分,第一类,(,对面积,),第二类,(,对坐标,),转化,二重积分,(1),选择积分变量,代入曲面方程,(2),积分元素投影,第一类,:,始终非负,第二类,:,有向投影,(3),确定二重积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,思 考 题,1),二重积分是哪一类积分,?,答,:,第一类曲面积分的特例,.,2),设曲面,问下列等式是否成立,?,不对,!,对坐标的积分与,的,侧有关,2.,基本技巧,(1),利用对称性及重心公式简化计算,(2),利用高斯公式,注意公式使用条件,添加辅助面的技巧,(,辅助面一般取平行坐标面的平面,),(3),两类曲面积分的转化,练习,:,P244,题,4,(3),其中,为半球面,的上侧,.,且取下侧,原式,=,P244,题,4,(2),P245,题,10,同样可利用高斯公式计算,.,记半球域为,高斯公式有,计算,提示,:,以半球底面,为辅助面,利用,例,5.,证明,:,设,(,常向量,),则,单位外法向向量,试证,设,为简单闭曲面,a,为,任意固定,向量,n,为,的,例,6.,计算曲面积分,其中,解,:,思考,:,本题,改为椭球面,时,应如何,计算,?,提示,:,在,椭球面内作辅助小球面,内侧,然后用高斯公式,.,例,7.,设,是曲面,解,:,取足够小的正数,作曲面,取下侧,使其包在,内,为,xOy,平面上夹于,之间的部分,且取下侧,取上侧,计算,则,第二项添加辅助面,再用高斯公式,注意曲面的方向,!,得,例,8.,计算曲面积分,中,是球面,解,:,利用对称性,用重心公式,作业,P244 3,(2) , (4) ;,4,(2),5 ; 9,备用题,1.,已知平面区域,L,为,D,的边界,试证,证,:,(1),根据格林公式,所以相等,从而,左端相等,即,(1),成立,.,(2003,考研,),因、两式右端积分具有轮换对称性,(2),由式,由,轮换对称性,(1),在任一固定时刻,此卫星能监视的地球表面积是,2.,地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄象机,能监视其”视线”所及地球表面的每一处的景象并摄像,若地球半径为,R,卫星距地球表面高度为,H,=0.25,R,卫星绕地球一周的时间为,T,试求,(2),在,解,:,如图建立坐标系,.,的时间内,卫星监视的地球,表面积是多少,?,多少,?,设卫星绕,y,轴旋转,(1),利用球坐标,任一固定时刻监视的地球表面积为,(2),在,时间内监视的地球表面积为,点击图片任意处,播放开始或暂停,注意盲区与重复部分,其中,S,0,为盲区面积,(1),利用球坐标,任一固定时刻监视的地球表面积为,(2),在,其中盲区面积,时间内监视的地球表面积为,斯托克斯,( Stokes ),公式,
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