控制系统的相对稳定性

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,5-5 控制系统的相对稳定性,一、相对稳定性的概念,在工程应用中，由于环境温度的变化、元件的老化以及元件的更换等，会引起系统参数的改变，从而有可能破坏系统的稳定性。因此在选择元件和确定系统参数时，不仅要考虑系统的稳定性，还要求系统有一定的稳定程度，这就是自动控制系统的,相对稳定性,问题。,1,已知两个最小相位系统的奈氏曲线如图（a）和（b）红线所示。,当系统参数变化，使开环放大倍数增加50后，两系统的奈氏曲线分别如图中虚线所示，分析稳定性。,系统的相对稳定性,2,二、稳定裕度,通常用稳定裕度来衡量系统的相对稳定性或系统的稳定程度，其中包括系统的,相角裕度,和,幅值裕度,。,（一） 相角裕度,如（a）图所示，GH平面上的单位圆与,系统开环频率特性曲线的交点频率,称为,幅值穿越频率或剪切频率,，它满足,相角裕度( ),幅值穿越频率所对应的相移 与180,0,角的差值,3,对于最小相位系统，若相角裕度 ，系统稳定（图a），且 值愈大，系统的相对稳定性愈好。如果相角裕度 ，系统则不稳定（ 图 a）。当 时，系统的开环频率特性曲线穿过 点，系统处于临界稳定状态。,相角裕度的含义,使系统达到临界稳定状态时开环频率特性的相角 减小（对应稳定系统）或增加（对应不稳定系统）的数值。,4,仅用相角裕度说明系统的相对稳定性是不全面的。比较下图所示两系统。,（a）,（b）,5,幅值裕度(K,g,),相位穿越频率所对应的开环幅频特性的倒数值，即,(b),（二） 幅值裕度,如下图(b)所示，把系统的开环频率特性曲线与GH平面负实轴的交点频率称为,相位穿越频率,，它应满足,6,对于最小相位系统，当幅值裕度 ( ），系统稳定(图b)，且K,g,值愈大,系统的相对稳定性愈好。如果幅值裕度 ，( ),系统则不稳定( 图b)。当K,g,=1时，系统的开环频率特性曲线穿过 点，临界稳定。可见，求出系统的幅值裕度 K,g,后，可根据 K,g,值的大小分析最小相位系统的稳定性和稳定程度。,(b),幅值裕度的含义,使系统到达临界稳定状态时开环频率特性的幅值,增大（对应稳定系统）或缩小（对应不稳定系统）的倍数。,7,必须指出,，系统相对稳定性的好坏不能仅从相角裕度或幅角裕度的大小来判断，必须同时考虑相角裕度和幅角裕度。从P.5图所示的两个系统可得到直观的说明，图（a）所示系统的幅值裕度大，但相角裕度小 ；而图（b）所示系统的相角裕度大 ，但幅值裕度小，这两个系统的相对稳定性都不好。对于一般系统，通常要求相角裕度 ，幅值裕度 （6分贝）。,因此，可根据系统的幅值裕度大于、等于或小于零分贝来判断最小相位系统是稳定、临界稳定或不稳定。,幅值裕度也可以用分贝数来表示,8,稳定裕度的比较,较小,较大、,g,K,g,a,),(,较小,较大、,K,g,b,g,),(,9,三、相角裕度和幅值裕度的求解方法,通常有三种求解系统相角裕度和幅值裕度的方法，即解析法、极坐标图法和伯德图法。,（一） 解析法,例 5-9,已知最小相位系统的开环传递函数为,试求出该系统的幅值裕度和相角裕度。,解,系统的开环频率特性为,其幅频特性和相频特性分别是,10,令 ，得,令 ,得,则,11,（二）极坐标图法,GH平面上，求单位圆与开环频率特性的交点，由交点与坐标原点的连线与负实轴的夹角求出相角裕度 ；由开环频率特性与负轴交点处的幅值 的倒数得到幅值裕度K,g,。,在上例中，先作出系统的开环频率特性曲线如图所示，作单位圆交开环频率特性曲线于A点，连接 0A，射线OA与负实轴的夹角即为系统的相角裕度。,。开环频率特性曲线与负实轴的交点坐标为,由此得到系统的幅值裕度,例5-9极坐标图,12,例5-9题Bode图,例59的伯德图如右图所示。,由图，可得幅值穿越频率 ，,相角穿越频率 ，相角裕度,，幅值裕度,（三）伯德图法,作伯德图，由开环对数幅频特性与零分贝线（即 轴）的交点频率 ，求出对应的相频特性与180,线的相移量，即为相角裕度 。当 位于 180,线上方时， ； 位于,线下方时， 。,由相频率特性与-180,0,线的交点频率 ,求出对应幅频特性与零分贝线的差值，即为幅值裕度K,g,的分贝数。当 对应的幅频特性位于零分贝线下方时， ，反之，当 对应的幅频特性位于零分贝线上方时， 。,13,比较上述三种解法可知：,解析法,比较精确，但计算步骤复杂，而且对于三阶以上的高阶系统，用解析法是很困难的。,图解法,以极坐标图和伯德图为基础的图解法，避免了繁锁的计算，具有简便、直观的优点，对于高阶系统尤为方便。但图解法是一种近似方法，所得结果有一定误差，误差的大小视作图的准确性而定。伯德图法和极坐标法虽然都是图解法，但前者不仅可直接从伯德图上获得相角裕度 和幅值裕度 ，而且还可直接得到相应的幅值穿越频率 和相位穿频率 。同时伯德图较极坐标图方便，因此在工程实践中得到更为广泛的应用。,14,四、稳定裕度与系统的稳定性,求出系统的稳定裕度可以定量分析系统的稳定程度。下面通过两个,示例进一步说明。,例5-10 已知最小相位系统的开环传递函数为,试分析稳定裕度与系统稳定性之间的关系。,解 极坐标图分别如下图（a）（ ）和（b）（ ）所示。由图（a）可知，当 时，系统的相角裕度 ，由图（b）可知，当 时，系统的相角裕度 。系统的幅值裕度用解析法求解如下：,幅频特性,相频特性分别为,15,令 , ，,（对应S平面的坐标原点，舍去），,系统幅值裕度为,可见，当 ，则,时， ，系统不稳定；,时， ，系统稳定，结论与应用奈氏判据的结果一致。,例5-10极坐标图,16,解,在一定的K值条件下，系统开环频率特性如图所示。奈氏曲线逆时针包围 点一周（N=1），根据奈氏判据，系统为稳定系统。,例5-11极坐标图,但求出该系统的相角裕度 ，幅值裕度K,g,1作为判别非最小相位系统稳定性的依据是不可靠的。,从本例可以看出，,对于非最小相位系统，不能简单地用相角裕度和幅值裕度的大小来判断系统的稳定性。,但对于最小相位系统以相角裕度 和幅值裕度K,g,1（ 或K,g,(dB)0）作为系统稳定的充要条件是可靠的。,End,例5-11 已知非最小相位系统的开环传递函数为,试分析该系统的稳定性及其与系统稳定裕度之间的关系。,