3.1.1变化率问题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.1.1,变化率问题,微积分主要与四类问题的处理相关,:,一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等,;,二、求曲线的切线,;,三、求已知函数的最大值与最小值,;,四、求长度、面积、体积和重心等。,导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。,一、变化率问题,研究某个变量相对于另一个变量变化,导数研究的问题,的快慢程度,变化率问题,问题,1,位移问题,问题一：已知物体运动的位移（,m,）与时间,t,（,s,）满足关系：,S,（,t,）,2t,5t,2,，,:,则：,（,1,）物体从第,1,秒到第,3,秒这段时间内的平均速度,=,=,；,（,2,）物体从,t,1,秒到,t,2,秒这段时间内的平均速度,=,=,。,怎么理解平均速度,定义,:,平均变化率,:,一般地，对于一个函数,y,f,（,x,）,，我们将,式子 称为函数,f,(,x,),从,x,1,到,x,2,的平均变化率,.,令,x,=,x,2,x,1,y,=,f,(,x,2,),f,(,x,1,),则,理解：,1,、式子中,x,、,y,的值可正、可负，但,x,值不能为,0,，,y,的值可以为,0,2,、若函数,f,(,x,),为常函数时，,y=0,3,、变式,思考,?,观察函数,f(x),的图象,平均变化率,表示什么,?,直线,AB,的斜率,即割线的斜率,问题,2,高台跳水,在,高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度,h(,单位：米,),与起跳后的时间,t,（单位：秒）存在函数关系,h(t)=-4.9t,2,+6.5t+10.,h,t,o,（,1,）计算运动员在,t,1,秒到,t,2,秒这段时间里的平均速度,=,。,（,2,）计算运动员在,0,t,这段时间里的平均速度为,，,思考：,运动员在这段时间里是静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？,在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为,瞬时速度,.,又如何求,瞬时速度呢,?,如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢,?,跳水运动员,2s,时的瞬时速度的多少呢？,t0,时,在,2,2+t,这段时间内,当,t=0.01,时,当,t=0.01,时,当,t=0.001,时,当,t=0.001,时,当,t=0.0001,时,当,t=0.0001,时,t=0.00001,t=0.00001,t=0.000001,t=0.000001,从,2s,到,(2+t)s,这段时间内平均速度,当,t,趋近于,0,时,即无论,t,从小于,2,的一边,还是从大于,2,的一边趋近于,2,时,平均速度都趋近与一个确定的值,13.1.,从,2s,到,(2+t)s,这段时间内平均速度,我们用,表示,“,当,t=2,t,趋近于,0,时,平均速度趋于确定值,-13.1,”,，就说运动员在,t=2,时的瞬时速度为,-13.1,思想：,局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。,预习自测,1,、已知质点运动规律为,，则时间在,(3,，,3+),中相应的平均速度为,_,。,2,、已知一个物体运动的位移（,m,）与时间,t,（,s,）满足关系,S,（,t,）,2t,5 t,2,，则物体第,2,秒的瞬时速度为,_,例题,解,:,在第,3,h,和第,5,h,时,原油温度的瞬时变化率就是,和,根据导数的定义,变式：,计算第,2h,和第,6h,时，原油温度的瞬时变化率。,例,2,、,已知函数,f(x),x,2,3x,（,1,）求,f(x),在,x,x,0,处的导数,;,（,2,）求,f(x),在,x,1,处的导数。,（,3,）求,f(x),在,x,3,处的导数。,口诀：,一差、二化、三极限,