数值分析课件第5章

机动,上页,下页,首页,结束,工科研究生公共课程数学系列,第五章,解线性方程组的直接方法,内容提要,5.1 引言与预备知识,5.2 高斯消去法,5.3 高斯列主元消去法,5.4 矩阵三角分解法,5.5 向量与矩阵的范数,5.6 误差分析,5.1 引言,关于线性方程组的数值解法一般有两类：,1、直接解法：经过有限次的算术运算，可求得方程组精确,解的方法（若计算过程中没有舍入误差）。但实际计算中由,于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组,的近似解。本章主要研究此类问题的解法。,2、迭代法：用某种极限过程去逐步逼近现行方程组精确解,的方法。迭代法具有需要计算机的存储单元较少、程序设计,简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点。,5.2 高斯消去法,在求解三角方程组,得,高斯消去法的条件,5.3 高斯主元素消去法,列主元消去法,5.4 矩阵三角分解法,Ax=b,是线性方程组,A,是,n,n,方阵,并设,A,的各阶顺序主,子式不为零。令,A,(1),=,A,当高斯消元法进行第一步后,相当于,用一个初等矩阵左乘,A,(1),。不难看出，这个初等矩阵为,重复这个过程，最后得到,一般地,这就是说，高斯消去法实质上产生了一个将A分解为,两个三角形矩阵相乘的因式分解，于是我们得到如下重要,定理。,当,A,进行,LU,分解后，,Ax=b,就容易解了.,即,Ax=b,等价于:,追赶法,在一些实际问题中，例如解常微分方程边值问题，热传导方程以及船体数学放样中建立三次样条函数等，都会要求解系数矩阵为对角占优的三对角线方程组,其中|,i-j,|1时,a,ij,=0,且满足如下的对角占优条件:,(1)|,b,1,|,c,1,|0,|,b,n,|,a,n,|0,(2)|,b,i,|,a,i,|+|,c,i,|,a,i,c,i,0,i,=2,3,n,-1.,5.5 向量和矩阵的范数,定义1(向量范数),x,和,y,是,R,n,中的任意向量,向量范数,是定义,在,R,n,上的实值函数,它满足:,(1),x,0,并且当且仅当,x,=0 时,x,=,0;,(2),k,x,=|,k,|,x,k,是一个实数;,(3),x,+,y,x,+,y,常使用的向量范数有三种,设,x,=(,x,1,x,2,x,n,),T,常使用的矩阵范数有三种,设,x,=(,x,1,x,2,x,n,),T,5.6 误差分析,知,识,结,构,图,五,直,接,法,解,方,程,组,高斯消,去法,矩阵的正交三,角化及应用,定义,常用范数,范数的性质,初等反射阵,平面旋转变换矩阵,矩阵的QR分解,应用：求解超定方程组,高斯消去法,高斯若当消去法,列主元消去法,矩阵三角,分解法,LU分解,平方根分解,LDL,T,分解,追赶法解三对角方程组,向量和矩,阵的范数,矩阵条件数及迭代改善法,End!,