连续时间系统的s域分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,*,页,第,*,页,单击此处编辑母版标题样式,第,*,页,第,6,章,连续时间系统的s域分析齐开悦,博士,Analysis and Characterized of LTI Systems Using the Laplace Transform,一.系统函数的概念：,以卷积特性为基础，可以建立,LTI,系统的拉氏变换分析方法，即,其中 是 的拉氏变换，称为,系统函数,或,转移函数,。,6.1 引言-用拉氏变换分析与表征LTI系统,如果 的ROC包括 轴，则 和 的ROC必定包括 轴，以 代入，即有,这就是LTI系统的傅里叶分析。即是系统的,频率响应,。,这些方法之所以成立的本质原因在于,复指数函数是一切,LTI系统的特征函数,。当以 为基底分解信号时，LTI系统,对输入信号的响应就是,；,而以 为基底分解信号时，系统的输出响应就是 。,用系统函数表征LTI系统,稳定性：,如果系统稳定，则有 。,因此 必存在,意味着 的ROC必然包括 轴。,综合以上两点，可以得到：,因果稳定系统的 ，其全部极点必须位于S平面的左半边。,例1.,某系统的,显然该系统是因果的，确定系统的稳定性。,显然，ROC是最右边极点的右边。,ROC包括 轴,系统也是稳定的。,的全部极点都在S平面的左半边。,极点：,确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。,例3.,右边信号,左边信号,双边信号,判断因果性和稳定性！,结 论：,如果,LTI,系统的系统函数是有理函数，且全部极点位于,S,平面的左半边，收敛域是最右边极点的右侧。则系统是因果、稳定的。,2.如果LTI系统的系统函数是有理函数，且系统因果，则系统函数的ROC是最右边极点的右边。若系统反因果，则系统函数的ROC是最左边极点的左边。,3.如果LTI系统是稳定的，则系统函数的ROC必然包括 轴。,三.由LCCDE描述的LTI系统的系统函数：,对,做双边拉氏变换，可得,是一个有理函数,的ROC需要由系统的相关特性来确定。,1）如果已知LCCDE描述的系统是因果的，则,的ROC必是最右边极点的右边。,2）如果已知LCCDE描述的系统是稳定的，则,的ROC 必包括 轴。,6.2由系统函数零、极点分布决定时域特性,冲激响应,h,(,t,),与系统函数,H,(,s,),从时域和变换域两方面表征了同一系统的,本性,。,在,s,域,分析中，借助系统函数在,s,平面,零点与极点,分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。系统的,时域、频域特性,集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。,主要优点：,1可以预言系统的时域特性；,2便于划分系统的各个分量,（自由强迫，瞬态稳态）；,3可以用来说明系统的正弦稳态特性。,二,H,(,s,),零、极点与,h,(,t,),波形特征的对应,在s平面上，画出,H,(,s,)的零极点图：,极点：用表示,，,零点：用,表示,零极点与时域特性,1系统函数的零、极点,例4,极点：,零点：,画出零极点图：,2,H,(,s,)极点分布与原函数的对应关系,几种典型情况,一阶极点,当 ，极点在左半平面，衰减振荡,当 ，极点在右半平面，增幅振荡,二阶极点,有实际物理意义的物理系统都是,因果系统,，即随,，这表明的极点位于,左,半平面，由此可知，收敛域,包括虚轴,，均存在，两者可通用，只需 将即可。,自由响应,与强迫响应,暂态响应与稳态相应,激励：,系统函数：,响应：,自由响应分量,强制响应分量,试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态响应分量。,例,给定系统微分方程,解：,方程两端取拉氏变换,零输入响应零状态响应,则,稳态响应暂态响应，自由响应强迫响应,极点位于,s,左半平面,极点位于虚轴,暂态响应,稳态响应,H,(,s,)的极点,E,(,s,)的极点,自由响应,强迫响应,几点认识,自由响应,的极点只由系统,本身的特性,所决定，与激励函数的形式无关，然而系数 都有关。,响应函数,r,(,t,),由两部分组成：,系统函数,的极点,自由,响应分量；,激励函数,的极点,强迫,响应分量。,定义,系统行列式（特征方程）的根为系统的,固有频率,（或称“自然频率”、“自由频率”）。,H,(,s,),的极点都是系统的固有频率；,H,(,s,),零、极点相消时，某些固有频率将丢失,。,暂态响应和稳态响应,瞬态响应,是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现,的有关成分，随着,t,增大，将消失。,稳态响应,完全响应瞬态响应,左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应,。,例,(1),在,零初始状态,下，对原方程两端取拉氏变换,所以,(2),因为,所以,所以,令分子中每一项,分母中每一项,6.3 由系统函数的零极点分布确定频率特性,画零极点图,当 沿虚轴移动时，各复数因子(矢量)的模和辐角都,随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。,由矢量图确定频率响应特性,例1 电路的s域分析,研究下图所示RC低通滤波网络,的频响特性,。,写出网络转移函数表达式,解:,频响特性,其转移函数为,相当于低通与高通级联构成的带通系统。,解：,低通滤波器,高通滤波器,例2 电路的s域分析,频响特性,例,(1),(2),(3),列方程,解：,极点,故,逆变换,设,则,波形,第一种情况：,阶跃信号对回路作用的结果产生不衰减的正弦振荡。,第二种情况：,引入符号,所以,第三种情况：,第四种情况：,波形,补充：系统函数的代数属性与系统的级联并联型结构,System Function Algebra and Block Diagram Representations,一.系统互联时的系统函数：,1.,级联：,包括,3.反馈联结：,2.并联：,包括,包括,例,当常数,k,满足什么条件时，系统是稳定的？,加法器输出端的信号,输出信号,如图所示反馈系统，子系统的系统函数,则反馈系统的系统函数为,为使极点均在,s,左半平面，必须,连续系统的方框图表示,一个连续系统可以用一个矩形方框图简单地表示,方框图左边的有向线段表示系统的输入f(t)，右边的有向线段表示系统的输出y(t)，方框表示联系输入和输出的其他部分，是系统的主体。此外，几个系统的组合连接又可构成一个复杂系统，称为,复合系统,。组成复合系统的每一个系统又称为,子系统,。系统的组合连接方式有,串联,、,并联,及这两种方式的,混合连接,。,连续系统也可以用一些输入输出关系简单的基本单元（子系统）连接起来表示。这些基本单元有,加法器,、,数乘器,（放大器）、,积分器等,。,例：某线性系统如图所示。求系统函数H(s)，写出描述系统输入输出关系的微分方程。,又得：,应用时域微分性质，得到系统微分方程为：,6.5 系统的稳定性,1，罗斯判据,2，霍尔维茨准则,