常数项级数收敛性判别法

单击此处编辑母版标题样式,82 常数项级数收敛性判别法,案例研究,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院,Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,案例8.2 正整数平方倒数和,：,研究下面的级数,（1）该级数是否收敛？（2）该级数如果收敛，那,么它收敛到多少？,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院,Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,分析,我们来求它的,n,项部分和，依次为,因为该级数每一项均是非负的，所以部分和数列,是单调增加的,.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院,Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,抽象归纳,正项级数的审敛法,若常数项级数,的每一项都是非负的，即,u,n,0(n=1,，2，3，)，则称级数,为,正项级数,.,设正项级数,的部分和为,则部分和构成的,数列,是一个单调增加的数列，即,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院,Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,定理,正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列,有界.,比较审敛法,设两个正项级数,和,且,(,n,=1,2,).,（1）若级数,收敛，则级数,收敛；,（2）若级数,发散，则级数,发散,.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院,Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,证,设,当,时，则,有,（1）当级数,收敛时，数列,有界，从而数列,有界，所以级数,收敛,.,（2）当级数,发散时，数列,无界，从而数列,无界，所以级数,发散,.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院,Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,例1,级数,称为,p级数,.,试讨论它的收敛性,.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院,Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,解,当,时，因为,而级数,发散，所以级数,发散,.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院,Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,当,时，小矩形的面积比同底的曲边梯形的,面积小，所以有,即级数,的部分和数列有界，所以收敛,.,综上，当p,1,时，级数,收敛，当,时，,级数,发散,.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院,Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,案例8.2(1)的解,因为,是,级数，且,所以该级数收敛,.,例2,判定下列级数的收敛性：,（1）,（2）,解,（1）因为,而等比级数,收敛，,所以根据比较审敛法，级数,收敛,.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院,Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,（2）因为n(n+1)(n+1),2,，所以,而级数,是调和级数去掉第一项1所成的级数，因此它是发散的，,所以根据比较审敛法，级数,发散,.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院,Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,比值审敛法,对于一个正项级数,若,则当1（或,）时，级数,发散；,当=1时，级数,可,能收敛也可能发散.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院,Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,例3,判定下列级数的收敛性,（1）,（2）,解,（1）因为,所以级数收敛,.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院,Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,（2）因为,所以级数发散,.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院,Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,交错级数的审敛法,一个级数若具有以下形式,或具有以下形式,则称为,交错级数,，其中,例,下面的级数就是一个交错级数,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院,Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,交错级数审敛法,若交错级数,满足条,件：(1),(2),则交错级,数,收敛.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院,Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,例4,判别交错级数,的收敛性,.,解,因为,所以有,且,所以由交错级数的审敛法知，级,数,收敛,.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院,Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,绝对收敛与条件收敛,定义,若级数,中各项可以是正数、负数或零，,则级数,称为,任意项级数,.,定义,若级数,收敛，则称级数,绝对收,敛,.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院,Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,例,任意项级数,各项取绝对值所得,的级数为,它是收敛的，所以原级数,绝对收敛,.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院,Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,问：,如果一个任意项级数绝对收敛，那么该级数是,否一定收敛呢？,定理,若级数,绝对收敛，则级数,必收敛,.,证,令,于是，,有,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院,Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,因为,均为正项级数，且,收敛，所以,由比较审敛法知，级数,和,收敛,.,又因为,所以由收敛级数的性质,2知，级数,收敛,.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院,Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,例5,证明级数,收敛,.,解,因为,而级数,是,p=4的p级数，它是收敛的，所以由比较审敛法知，级,数,收 敛,.,所 以 ， 级 数,是 绝 对 收 敛 的,.,从 而 级 数,收敛,.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院,Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,问：,收敛级数是否一定绝对收敛？试举例说明.,例,是收敛的，但是它的各项取绝对值所成的级数,却是发散的,.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院,Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,若任意项级数,收敛，而级数,发散，则,称级数,条件收敛,.,例,交错级数,是条件收敛的,.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院,Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,小结：,1正项级数：,（1）定义；,（2）审敛法：充要条件、比较审敛法、比值审敛法；,2交错级数：,（1）定义；,（2）审敛法；,3任意项级数：,（1）绝对收敛与条件收敛；,（2）绝对收敛定理,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院,Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,