分数的拆分问题【讲义]

分数的基本性质例1、分数3的分子加上9,要使分数值不变，分母要扩大多少倍？ 83 3+9分析：O = a / 、，分子增加3倍，说明分子扩大了 4倍，分母也要增加 3倍或扩大4倍。 8 8+()4 44拓展：分数 一的分子加上8,要使分数值不变，分母要扩大多少倍？1543例2、分数7的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是-,求分子和分母都加上的这个数是几？3分析：方法一 试一试：将3的分子、分母同时扩大相同的倍数43 6912 15 ,4 , , 一，一，、-=-=不广 77 =工？用这些分数的分子、分母与 二的分子、分母相减，结果相同的就是。 4 8 12 16 207、，2 439416方法一先观祭下面的几组等式：-=-=-=3 6515312交叉相乘可以发现 3X 4=2X6 5 X9=3X 15 4 X 12=3X16,因此我们得出这样一个结论，当白d时，ab cx c=b x do解：设分子和分母都加上的这个数为x,根据题意可得：4+x 37+x- 4(4+x) X 4=(7+x) X 316+4x=21+3xX=21-16X=5方法三：【利用分母与分子差不变】，L ，, ， 11 S ，, 一 ，,一，一， 口，,， 口3 ，、一 ，、一 ，山、一，口拓展：分数 一的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是一，求分子和分母都加上的这个数是几？418原来相差30加同样的数还是相差 30但新数相差为5,必须5X6 =302例3: 一个分数，分子比分母大 20,如果分子减去6,得到新分数约分后等于14，求原分数。3方法：【利用分母与分子差不变】，E，、，、，3， E，、，、，1 F 一，一一例4、一个分数，如果分子加上1,就变成4 ,如果分子减去1,就变成,那么原来的分数是多少？方法一、将分子，分母数字较大的采用“等值放大”看分子减2倍 可以不可以变成1/2方法二、通分拓展：一个分数，如果分子加上1,分母减去1,就变成4 ,如果分子减去1,分母加上1,就变成;，那么原来的52分数是多少？将分子，分母数字较大的采用“等值放大”将分子，分母数字较小的数，变成分子比第一个数小 2,分母比第一个数大 2方程法：一个分数，如果分母减去 2,就变成2 ,如果分母加上5,就变成3 ,那么原来的分数是多少？ 38方法一、等值放大两数分母相差7方法二、通子3一个分数，如果分母减去 4,就变成1,如果分子减去2,就变成-,那么原来的分数是多少？ 5将分子，分母数字较大的采用“等值放大”将分子，分母数字较小的数，变成分子比第一个数大 2,分母比第一个数小 4例5、一个分数，分子分母的和是122,如果分子分母都减去 19 ,得到是新分数化简后是 1 ,5求原来的分数是多少？利用和变拓展：554分数的分子减去某数，而分母同时加上这个数后，所得的新分数化简后为一，求某数是多少？6413利用和不变例6 一个分数，如果分子加上 16,分母减去166,那么约分后是 ,如果分子加上124,分母加上340,那么约41分后是一。求原分数是多少？2用方程组分数的拆分问题、分数拆分的初步知识 拆分主要有以下几个步骤：把。的分母写成质因数乘积的形式，即I把人的分子和分母同时乘以5,成为的形6式，这6 x 56 x 5X 叫做扩分。注意：为什么要乘以5?因为5正好是分母6的两个质因数的和。把分子拆成分母的两个质因数的和，再拆成两个分数的和。即：I 1X52 + 3232X3X5-2X3X5-2X3X5 2乂3乂5把拆开后的两个分数约分，化成最简分数。例1填空：&VrTr,并写出过程111X92714 2X7 2X7X9 2X7X9 2X7X91 1 1 11-1-一-|j7X9 2*9 63 IS事实上，我们把分母分解质因数后，可以得到这个分母的不同的约数，只要把分子、分母都乘以这个分母的任意两个约数的和，就可以把一个分数拆成两个分数的和。例2填空，占解：18分解质因数后共有六个约数：1、2、3、6、9、18,取不同的两个约数的和，可以得到 不同的解。如：1 乂(12)而=18乂042) = 54 + 54 = 5427一=18+ 5 90 90 45 30t _ lx(3 + 6) _ 36 _ 11 18 18乂(3+6) 162 162 51 271 乂 (6+9)911S- + =:- +1S 13X(6 + ?) 270 270 45 30181I . 1X(918 18X(9 + 18) 486 486 54 27g 11X(2+- 9)29=+ -!-18 18乂(2 / 9) 193 198 99 22可以看出，由于每次所选用的两个约数不同，所得的解也不相同。但是当选用的四个约数成比例时，它们的解就相同。如：选用 1和2, 3和6, 9和18;或选用2和3; 6和9时，解就相同。、把一个分数拆成几个分数的和以上拆分的方法同样也适用于把一个分数拆成三个或三个以上分数的和。解：18的约数有1、2、3、6、9、18。可以任意取其中三个约数，得到不同的解。1 乂(1t2 土分18X (1-1-2 + 7)1 1 1 + + _ 10S 54 361乂(2十3十 6)1231-1108 100 108工=18 IRXQ十 1 兜 1 兆 1981 1 199 66 331X(143 + Q1父。+ 升思)1S01301801 1 1180 4 60+30答案不只一种。三、把一个分数拆成两个分数的差看左右两边有什么关能不能把一个分数拆成两个分数差的形式呢？观察下面的分数运算,由上面的例子可知；当一个分数为时m （口为自然数），可拆分为的形式口n n -FlBP：11111 (n. + 1)n.n +1（公式D=-156 )()彝二工JL =62X32 31256 7X8 7 8观察下面几个分数的运算，左右两边有什么关系。511 XU6 _2万8 -27X9 _ 511U-ll一 D6TT-161756 33-2616 - 828 -16 _162119-72637 -63635ne3=3以上每个分数的分子d都是分母中两个因数的差。当n、n+d,都是自然数时,nx(n+d)可以转化为两个分数相减的形式口即:tiX(口 中日)n n + d（公式2）11111=一二1X22122111112X36236111113X4123W12些分数拆成两个分数当d=1时，公式（2）则转化为公式（1）。利用公式（2）可以把 差的形式。例5把下面各分数写成两个分数差的形式。5 T?7(1) (2)(3)(4)- 、24、 2W63、 123X8 3 84X7 4 7 房7X9 7 9 18 2 乂9 2 9由公式X (n + d) a n + d可推导出,仕乂 （口+d） d（公式3）力口： :工（一 一J 24 5 匕 8,2818观察下面等式，左右两边有什么关系。=11X2X36-X )=一22 2乂针 82乂3*4 241乂22X3 3X43X4X5 603X4 4X560通过上面算式，可以得出这样的结论:口 X +1) X (ri + 2)2= 1x(口X(r + D (n + 1)X(11+ 2)正公式4）如:1 1 =一乂61X2X3 2242 乂 3 乂 421 1 11160 3X4X5 220由此可知，一个分数可以根据需要拆成两个或若干个分数的和或两个分数的差的形式。四、拆分方法在分数加法运算中的应用例5计算彳,十存4而.而F解士原武=_十_L+_L+工十1X22X3 EX4 4X5 5父8 6X7J / J J L t J 1、=（二/0一百”号一了尸（1才0一，于iiiiiiiiiiiiMM MMAS? B MMW b|m W1 22334455667例6计算：1 1 1 1+* +十一1988X1989 1989X199Q 1990 Kl991 1991解工前三个分数相加，可直接写成春一黑iuu iyy 1kT 11111S8S 1991 1991 138822221例了计算_12乂14 14 乂 16 16X18 13X20 20解：由公式（2）原式=（正-石）十（-.）+ （ 1r市）乜值一坛）十面 111111111 1-1-k - 4- 12 14 M 16 16 18 18 20 201 = 12例H计算mI,ll 1,1 + 5父9 + 3X13 . 13X 17 . 17X21解：由公式（3）m3111111111111-X4十TXQ44 9 9 13 13 17 17 211=一 X421 21=lx4例9计算:十十1 + -1+2 1+2+3 1+2+3+41十2十3十十50解：由等差数列求和公式12 + 3+* 也 n X (fi + 1) tiX(A + 1)-2Xn n+1由此，本题中的各个分数可以拆分为:1+2+3=2吗-4因此，本题解法如下: i 111原式=1 + ”5 一？)+2X(7/十2冢彳考寸裁区后占死1111111=+ 2 乂 (- - |- - - - -|- - H-2 3 3 4 4 55。49 .491+*乔=1*引=1引例io计算LLLe E 6 24 60 4。据根据公式9N（一康）3X（）24 2 、2 乂 3 3 乂4，1 1 1 160 2 、3X4 4X5，H 11111111112 hx 2 2乂3 2 、2乂3 3又4， 2 、3乂4 4乂5， 401111111 、 12 ”乂2 2X3 2X3 3乂4 3 乂4 4乂5 40_1、 1 1 1 1 _ 12 2 20 40 4 40 40 4例11计算1111 1-十+H- +, + 4x5x6 5又6又7 6乂7又8 7x3x998乂99乂10。解：根据公式（4）JS式=_X 245 5X6 5X6 6XR5K7 7XS 7x31SX 9K J4弘寸乂 5一 99乂 10U） =而1g93口24719800 9900例12求121123211234321解：先把同分母的分数相加，看看有什么规律。121142+14 + + 二 三 = /22222123211十2十3十2十19一 1 = = = 3333333312 3 4 3 2 1 243 + 4 + 3 + 2 + 1一 十一十一十一十一十一十 一=44444444上面三个算式表明，分母是2、3、4的如上面这样的算式，它们的和分别是 2、3、4。由此可以推出，分母为K的如上面的算式，所有的分数的和等于 K。所以， 原式=2+3+4=9例13计算112111991 19901凡 占 占 上.士=.上占占 1上 2 2 219911991 1991两解：可以利用例12所得出的结论以及等差数列求和公式进行计算。原式=1+2+3+1991=（1+1991） X1991 2=1983036习题五1.在下列各式的括号内填上适当的整数（13题）4 .把下面各分数写成两个分数差的形式5 .先观察，找出规律。1 1兄441Mli33X41212 121241_ 1乂5_ 5 _ 1 + 4 _ 1 J4 =45 + 20 = 20 + 20 = 20 + 511X66151155X63030 30306然后在（）内填上适当的整数（要求分母都不同，且尽可能小）