线性代数-二次型及其标准形

,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,第六章 二次型及其标准形,1.,二次型的定义,定义 含有个变量 的二次齐次函数,称为二次型.,(,二次齐次多项式,),当系数 为复数时， 称为复二次型；当系,数 为实数时， 称为实二次型.,3. 二次型的矩阵表示式,令 ，则,于是,记,其中 为对称阵： .,二次型的矩阵表示式,说明,对称阵与二次型一一对应；,若 ，,二次型的矩阵 满足：, 的对角元 是 的系数；, 的 元是 系数的一半.,则对称阵 称为,二次型 的矩阵,；二次型 称为,对称阵 的,二次型；,3. 二次型的矩阵表示式,例如：,二次型,的矩阵为,于是,二、二次型的标准形,二次型研究的主要问题是：,寻找,可逆变换,，使,这种只含平方项的二次型称为,二次型的标,准形(法式,).,特别地，如果标准形中的系数 只在,三个数中取值，那么这个标准形称为,二次型,的规范形.,标准形的矩阵是对角阵.,三、化二次型为标准型,1. 经可逆变换后，新旧二次型的矩阵的关系：,因为有,所以 与 的关系为：,2. 矩阵的合同关系,定义,设 和 是 阶矩阵，,若有可逆矩阵 ，,使,则称矩阵 与,合同,.,说明,合同关系是一个等价关系.,设 与 合同，若 是对称阵，则 也对称阵.,对称阵一定,合同相似,于一个对角阵.,若 与 合同，则 .,经可逆变换 后，二次型的矩阵由 变,为与 合同的矩阵 , 且二次型的秩不变.,把二次型化成标准形相当于把对称阵 用合,同变换化成对角阵(称为把,对称阵合同对角化,)，,3. 化二次型为标准形,对二次型 作可逆变换 ，,相当于对对称阵 作合同变换；,即寻找可逆阵 , 使 .,定理8,任给二次型 , 总,其中 是 的矩阵 的特征值.,即任何二次型都可用正交变换化为标准形.,（主轴定理，,P262 Th6.1,）,存在正交变换 ，使 化为标准形,推论,任给二次型 ，总,有可逆变换 ，使 为规范形.,即任何二次型都可用可逆变换化为规范形.,证,设有二次型,由定理8知，存在正交变换 ，使,设二次型 的秩为 ，则特征值 中恰有 个,不为0，不妨设 不等于0，,于是，令,其中,则 可逆，且变换 把 化为,记,，,则可逆变换 能把 化为规范形,推论,任给二次型 ，总,有可逆变换 ，使 为规范形.,即任何二次型都可用可逆变换化为标准形.,4. 用正交变换化二次型为标准形的步骤：, 写出二次型的矩阵 ；, 求出 的特征值；, 求出 的两两正交的单位特征向量；, 用 表示在中求得的特征向量构成的矩,阵，写出所求的正交变换 和二次型,的标准型.,4. 用正交变换化二次型为标准形的步骤：, 写出二次型的矩阵 ；, 求出 的特征值；, 求出 的两两正交的单位特征向量；, 用 表示在中求得的特征向量构成的矩,阵，写出所求的正交变换 和二次型,的标准型.,将对称阵正交相似对角化的步骤：,(1),求特征值；,(2),求两两正交的单位特征向量；,(3),写出正交矩阵和对角阵.,例1,已知二次型,用正交变换把二次型 化为标准形，并写出相,应的正交矩阵.,解,析,：此题是一道典型例题. 目的是熟悉用正,交变换化二次型为标准形的“标准程序”.,写出二次型对应的矩阵,二次型 对应的矩阵为,求 的特征值,由 ，求得 的特征值为,求 的两两正交的单位特征向量,对应 ，解方程 ，由,得基础解系为,将其单位化，得,对应 ，解方程 ，由,得基础解系为,将其单位化，得,对应 ，解方程 ，由,得基础解系为,将其单位化，得,写出正交矩阵和二次型的标准形,令矩阵,则 为正交阵，于是，经正交变换,原二次型化为标准形,例,1+,：求一个正交变换,x,=,P y,，把二次型,f,=,2,x,1,x,2,+ 2,x,1,x,3,+ 2,x,2,x,3,化为标准形（规范形）,例,1+,：求一个正交变换,x,=,P y,，把二次型,f,=,2,x,1,x,2,+ 2,x,1,x,3,+ 2,x,2,x,3,化为标准形,解：二次型的矩阵,有正交阵,使得,于是正交变换,x,=,P y,把二次型化为标准形,f,=,2,y,1,2,+,y,2,2,+,y,3,2,如果要把,f,化为规范形，令,，即,可得,f,的规范形：,f,=,z,1,2,+,z,2,2,+,z,3,2,例,2,已知二次型,的秩为2., 求参数 以及此二次型对应矩阵的特征值；, 指出 表示何种曲面.,解,二次型 的矩阵,因为 的秩为2，,所以 的秩也为2，因而,当 时， 的特征多项式为,于是， 的特征值为,由定理8知，必存在正交变换,其中 为正交矩阵(不必具体求出,)，,使二次型,于是，曲面,这表示准线是 平面上椭圆、母线平行于,轴的,椭圆柱面.,在新变量 下称为标准形,一、情形,1,配方法,的系数,例3,用拉格朗日配方法化二次型,成标准形，并求所用的变换矩阵.,解,用到的线性变换为,即,用到的线性变换为,即,配方法,配方法,33,所用的变换矩阵为,于是， 的标准形为,配方法,二、情形,2,的系数,例4,用拉格朗日配方法化二次型,成规范形,，,并求所用的变换矩阵.,解,先用下面可逆变换，使二次型中,即,配方法,用到的线性变换为,即,配方法,用到的线性变换为,即,配方法,配方法,配方法,于是，,配方法,于是，,所用的变换矩阵为,因此， 的规范形为,配方法,三、惯性定理,定理9,(惯性定理),设有二次型 ，它,的秩为 ，有两个可逆变换,及,使,及,则,正数的个数相等. （证明：,P275 Th6.3,）,中正数的个数与,中,说明,二次型的标准形正系数的个数称为二次型的,负系数的个数称为,负惯性指数.,正惯性指数；,若二次型 的正惯性指数为 ，秩为 ，则,的规范形变可确定为,只有用正交变换把二次型化为标准形，标准,形的系数才是二次型矩阵的特征值.,例5,下列矩阵中，与矩阵,合同的矩阵是哪一个？为什么？,解 析,：此题的目的是熟悉惯性定理，用惯性,定理解题.,容易求得 的特征值 ，,于是可知， 所对应的二次型的正惯性指数,为 ；负惯性指数为 .,合同的二次型应有相同的正、负惯性指数，,故选(,B).,应选(,B)，,理由是:,例5,下列矩阵中，与矩阵,合同的矩阵是哪一个？为什么？,一、正定二次型的概念,定义,设有二次型 ，, 如果对任何 ，都有, 如果对任何 ，都有 ，则称,为,负定二次型，,并称对称阵 是,负定的；,阵 是,正定的,；,(显然,0 )，,则称 为,正定二次型，,并称对称,说明,按定义，当变量取不全为零的值时，二次型,若是正定 (,),二次型，则它的对应值总是,正数 ( ) .,负定,负数,若 是正定二次型，则,就是负定二次型.,二、正定二次型的性质与判别法,定理10,二次型 为正定的充要条件,是：它的标准形的 个系数全为正数，即它的,正惯性指数等于 .,推论1,正定二次型 (正定矩阵) 的秩为 .,推论2,对称阵 为正定矩阵的充要条件是：,的特征值全为正.,证明,定理10的证明,证,已知 ，有可逆变换 ，使,先证充分性：,设 ，任给 ，,则 ，故,再证必要性:,用反证法.,假设有 ，,取 (单位坐标向量) ，,这与 为正定相矛盾.,这就证明了 .,则有 ，且,定理11,(霍尔维茨定理,), 对称阵 为正定的充要条件是： 的各阶,主子式都为正. 即, 对称阵 为负定的充要条件是： 的奇数,阶主子式为负，偶数阶主子式为正. 即,正定二次型的判定：,正定,的正惯性指数,的 个特征值全为正,的规范形为,合同于单位阵,的各阶主子式全为正,例6,判定二次型,的正定性.,解 析,：此题的目的是熟悉定理11，用定理11,判定二次型的正定性.,的矩阵为,1 阶主子式：,2 阶主子式：,3 阶主子式：,根据定理11知，,为负定.,三、本章小结,个变量的二次齐次函数称为二次型.,只含平方项的二次型称为二次型的标准形，,将二次型化为标准形相当于把二次型的矩阵 合同对角化.,对于任何一个二次型一定存在正交变换将它,化为标准形.,配方法是化二次型成标准形(或规范形)的一,种较方便的方法；惯性定理.,如果 ，总有 (或,)，,则称,二次型 是正定(或负定)的，并称 的矩阵,是正定(或负定)的.,矩阵的三大关系：, 它们的定义,存在 阶可逆阵 和 阶可逆阵 ，使,与 等价,与 相似,与 正交相似,与 合同,存在可逆阵 ，使,存在正交阵 ，使,存在可逆阵 ，使,等价、相似(正交相似),、合同, 关系不变量,等价关系的不变量：,相似关系的不变量：,秩，即,秩，即,特征多项式，即,特征值.,合同关系的不变量：,秩，即,对称性，即若 是对称阵，则 也是,对称阵；,对称阵 对应的二次型的正惯性指,数和负惯性指数；,对称阵 对应的二次型的规范形.,