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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,计算方法（,2016/2017,第一学期）西南科技大学 制造科学与工程学院,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,欧拉公式,常微分方程,2016/2017,学年,第一学期,（,16,周）,在科学与工程技术领域中，常需要求解常微分方,程的定解问题。这类问题的最简单形式，是一阶,常微分方程的初值问题。,我们知道，只要右端函数,f,(,x,y,),适当光滑，如关,于,y,满足,利普希茨,条件,理论上就可以保证初值问题的解,y,=,y,(,x,),存在并,且唯一。,微分方程数值解法,在 处的导数 可以近似地表示成差商,用 近似地代替 ，可将初值问题离散化成,为,即,以上公式称为,显式欧拉公式,。,为了不引起混淆 表示解 在 处,的,精确值,，而 表示其,近似值,。,显式欧拉公式,在显式欧拉公式中，除了 外，有,和,。因此，用显式欧拉公式计算,所得到点列的散点图，是一条,近似欧拉折线,。,显式欧拉公式几何意义,在 处的导数 ，可以近似表示成差商,用 代替 ，代替 ，可将初值,问题离散化成为,即,以上公式称为,隐式欧拉公式,。,隐式欧拉公式,公式,(1),和,(2),均为欧拉公式，但有本质的区,别。式,(1),是关于 的一个可直接进行的计算,公式，这类公式称作,显式,的；而式,(2),的右端含,有未知的 ，它实际上是一个关于 的计算,方程，这类公式称作,隐式,的。,欧拉公式,隐式公式不能直接求解，需采用迭代法求解。用,显式欧拉公式提供迭代初值，其迭代公式为：,因为,这里，,L,是,f,(,x,y,),关于,y,的利普希茨常数，如果,选取,h,充分小，使得,hL,1,，则当 时，有,，这说明以上迭代公式是,收敛,的。,欧拉公式,对方程 从 到 积分，得,利用数值积分中的梯形公式,并将式中的 用 代替，用 代替,可导出,称此公式为,梯形公式,。容易看出，梯形公式实际,是,显式,和,隐式,欧拉公式的,算术平均,。,梯形公式,可以不难看到，梯形公式虽然,提高了精度,，但其,算法复杂,，在应用迭代公式进行实际计算时，每,迭代一次，都要重新计算函数,f,(,x,y,),的值，而迭,代又要反复进行若干次，,计算量很大,。为了控制,计算量，,通常只迭代一次就转入下一步的计算,，,这样就,简化了算法,。,改进的欧拉公式,具体的说，先用显式欧拉公式求得 的近似,值 ，称这个值为,预报值,，预报值的精度可能,较差，再将该预报值代入梯形公式，求得,，,称这个值为,校正值,，校正值的精度会有所提高，,如此建立的计算公式称为,改进的欧拉公式,。,改进的欧拉公式,在实际计算中，通常将改进欧拉公式表述称以下,形式：,预报：,校正：,改进：,改进的欧拉公式,例题,例：,利用欧拉方法、改进欧拉方法求解以下初值,问题，其中步长 。,解：,欧拉计算公式：,改进欧拉计算公式：,例题,解：,计算结果如表所示。,例题,0.0000,0.000000,0.000000,0.000000,0.000000,0.1000,0.000000,0.004837,0.005000,-0.000163,0.2000,0.010000,0.008731,0.019025,-0.000294,0.3000,0.029000,0.011818,0.041218,-0.000400,0.4000,0.056100,0.014220,0.070802,-0.000482,0.5000,0.090490,0.016041,0.107076,-0.000545,0.6000,0.131441,0.017371,0.149404,-0.000592,例题,例：,利用欧拉方法求以下公式在给出点处的近似,值（取 ）。,解：,问题等价于求解,记 ，取,则,于是欧拉计算公式：,可得：,例题,
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