CH1利息的度量

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,利 息 理 论,开课系：理学院 统计与金融数学系,教师,:,陈萍,e-mail:,Probstat,参考书：利息理论,S.,G.Kellison,著 尚汉冀译,上海科学技术出版社,1,第一章 利息的度量,积累函数与金额函数,利率,现时值,名义利率与名义贴现率,利息效力与贴现效力,2,在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的增值，资金周转使用时间越长，实现的价值增值越大。同时，等额的货币在不同时间上由于受通货膨胀等因素的影响，其实际价值也是不同的。因此，货币的使用者把货币使用权转让给其他经济活动者，他应该获得与放弃这个使用机会时期长短相应的报酬。,定义,利息就是掌握和运用他人资金所付的代价或转让货币使用权所得的报酬。,利息的计算与积累函数的形式、利息的计息次数有关。,3,1.1,积累函数与金额函数,一般地，一笔金融业务可看成是投资一定数量的钱款以产生利息，初始投资的金额称为本金，而过一段时间后收回的总金额称为积累值。,积累值,=,本金,+,利息,假定,：设一旦给定了原始投资的本金数额，则在以后任何时刻积累值均可确定，且设在投资期间内不再加入或抽回本金。也就是说，资金数额的任何变化严格说都是由利息效应产生的。,自融资,4,定义,考虑一单位本金，记原始投资为,1,时在任何时刻的积累值为,a(t),，,称为,积累函数,。,a(t),的性质：,a(0)=1;,a(t),通常为增函数；,当利息连续增加时，,a(t),为连续函数。,典型积累函数,:,5,定义,A(t)=ka(t),称为,金额函数,，它给出原始投资为,k,时在时刻,t=0,的积累值。,记从投资之日算起第,n,个时期所得到的利息金额为,I,n,.,则,I,n,=A(n)-A(n-1)(1.1.2),注,设,t,为从投资之日算起的时间，用来度量时间的单位称为“度量时期”或“时期”，最常用的时期为一年,以,I,（,t),表示,t,时刻的利息额，则,I(t)=A(t)-A(0),6,例,1.1.1.,考虑金额函数,a),确定对应的积累函数,a(t),b),检验,a(t),是否满足积累函数的三条性质,c),找出,I,n,解,:,7,1.2.,利率,1.2.1.,实质利率,定义,实质利率,i,是指在某一时期开始时投资,1,单位本金时，在此时期内应获得的利息。,如：一年期存款，年利率,i=2.25%,故,a(1)=1+2.25%,本金,100,元，年末积累值为,100(1+2.25%)=102.25,元,8,注（,1),实质利率常用百分比表示。,（,2,）本金在整个时期内视为常数,（,3),实质利率是一种度量，其中利息在期末支付。它可用金额函数确定如下：,i=A(1)-A(0)/A(0)=I,1,/A(0),这就可以给出另一个定义：,定义,实质利率,i,是某时期内得到的利息金额与此时期开始时投资的本金额之比。,9,实质利率可以对任何度量的时期进行计算。设,i,n,为从投资之日算起第,n,个时期的实质利率，则,i,n,=A(n)-A(n-1)/A(n-1)=I,n,/A(n-1)n,1,例,1.2.1.,证明,A(n)=(1+,i,n,)A(n-1),1.2.2.,单利,定义,若考虑投资,1,单位本金，在每一时期中得到的利息为常数，其积累函数则为线性的。,a(t)=1+it,对整数,t,0,这种类型产生的利息为,单利,。,10,例,1.2.2,.,a),如,500,元存款在,5,年内积累到,590,元，单利利率为多少？,b)500,元按,3.6%,的单利要经过多少年可积累到,600,元？,解,:a),设,单利利率为,i,则,b),设要经过,x,年积累,则,11,练习,1.,如果,1000,元以某一单利利率经过某一长度的时期积累到,1100,元，试确定,500,元以该单利利率的,3/4,倍的利率经两倍长的时期的积累值。,练习,2.,查出目前市面流通或发行的国债，计算其利率。与同期存款利率进行比较。,12,1.2.3.,复利,定义,复利,的积累函数是,a(t)=(1+i),t,对整数,t,0,单利与复利的异同,(1),单利与复利对单个度量时期会产生同样的结果。对较长的时期，复利比单利产生较大的积累值，而对较短的时期则相反。,(2),增长形式不同：对于单利来说，它在同样长时期内的增长绝对值保持为常数；而对复利来说则是增长的相对比率保持为常数。即 对单利：,a(t+s)-a(t),不依赖于,t,对复利：,a(t+s)-a(t)/a(t),不依赖于,t,13,例,1.2.5.,某人有,1000,元准备存款,5,年，现有两种存款方式：,1),按年利率,5.85%,的单利。,2),按年利率,5.27%,的复利；问哪种存款所得积累值较多？,解,:,故按年利率,5.27%,的复利存款所得积累值较多,.,14,某人有,10000,元本金，准备存款,5,年，请提供存款方案,并分析按那种方案所得积累值较多？,参考：人民币存款利率表：,1年,2.25%,2年,2.7%,3年,3.24%,5年,3.6%,EX,15,1.3,现时值,1.3.1.,现时值,考虑这样的问题：一笔十年后付,1000,元的付款，相当于现在付多少元？购房时，一次付清可享受适当的优惠，一次付清与分期付款到底那个合算,?,定义,.,称一单位金额在,t,时期前的值或,t,时期末一单位金额在现在的值为,t,时期现时值,。,记对应实质利率,i,称,v,=1/(1+,i,),为,贴现因子,。（相应的,1+,i,称为积累因子）,16,上述结果扩展到不止一个时期，也就是说要确定某人在时期开始时应投资多少才能在,t,时期末积累到金额,1,。,定义,称,a,-1,(t)=1/a(t),为贴现函数。代表在,t,时期末的,1,单位金额的现时值。,例,1.3.1.,五年期国债，面值为,100,元，按贴现发行，若,i=6.42%,则其发行价应为多少？,(1),按单利,.(2),按复利,解,:,17,注,一时期内金额的改变可以称为“利息”，也可以称为“贴现”，但两者意义不同。,利息,本金基础上的增加额，在期末支付，其计算的依据为期初余额。,贴现,积累值基础上的减少额，在期初支付，其计算的依据是期末余额。,用,实质利率,i,可以很方便地计算：利息,=,本金*,i,也希望有类似的参数,d,，,使：贴现,=,期末值*,d,参数,d,就是贴现率。,EX.,已知,$500,的投资在第,30,年末将增长到,$4000,求在第,20,年，,40,年，,60,年末各付款,$10000,的现时值之和。,18,1.3.2.,实质贴现率,定义,称 为,1,时期的,实质贴现率,。,例,1.3.2,假设某人,A,到银行以实质贴现率,6%,借,100,元，为期,1,年，一年后,A,还给银行,100,元。则,1),银行实际付给,A,多少元？,2),这相当于实质利率是多少的贷款？,解,:,显然,19,推广到,n,个时期有,a,-1,(t)=(1-d),t,t,0 (1.3.1),称满足,(1.3.1),的,d,为复贴现率,.,定义,称两个贴现率或利率,等价,，如果对给定的投资金额，在同样长的时期内两者产生同样的积累值,例,1.3.2,求证：若,a(t)=(1+i),t,，则在各,时期内等价的实质贴现率为常数，,(1.3.2),20,d,与,i,之间的几种变形有一些有趣的字面解释：,d=i/(1+i)-,期初投资,1,，在,1,时期末赚得的利息,i,按贴现因子贴现到期初即为贴现率,d,。,1/(1+i)=1-d-,此方程两边均表示在期末支付,1,的现时值。,i-d=id-,某人可借贷,1,而在期末归还,1+i,，,也可以借贷,1-d,而在期末归还,1,。表达式,i-d,是所付利息的差额，此种差额是因为所借本金相差,d,而产生的。金额,d,依利率,i,在一时期末的利息就是,id.,21,1.4.,名义利率与名义贴现率,1.4.1.,名义利率,在实际金融业务中，常会遇到这样的说法：“年利,10%,半年结算一次”、“季度复利,10%”,或“月度复利,10%”,等等。,由于一年内结算次数不同产生了利率的“名不副实”，原来给定数据,10%,就是名义利率。,定义,记,i,(m),为每一时期付,m,次的,名义利率,，其中,m1,m,为整数。,22,注,:,所谓名义利率,i,(m),指每,1/m,时期支付一次的利率，也就是说，对于每,1/m,时期，一本金的利息是,i,(m),/m,而不是,i,(m,),。,定义,利息支付及再投资以赚取额外利息的周期称为“利息转换时期”,1.4.2.,名义利率与实质利率的关系,设一时期的名义利率为,i,(m),与之等价的实质利率为,i,，,则应有,1+i=(1+i,(m),/m),m,。,于是有 或,23,例,1.4.1.,贷款人,A,开价年实质利率为,9%,贷款人,B,开价季度复利,8.75%,，而贷款人,C,开价月度,复,利,8.5%,。某人需要为期一年的贷款，问谁的贷款好？,解,:,对,B:,对,C:,故,C,的贷款好,.,24,1.4.3.,名义贴现率,定义,每一时期支付,m,次的名义贴现率记作,d,(m),.,表示每,1/m,时期支付,d,(m),/m,的实质贴现率。,例,1.4.2.,试确定,100,元在两年之末的积累值。,A),如果名义利率为季度转换,6%.,B),如果名义贴现率为季度转换,6%.,解,:,设积累值为,x,则,25,1.4.4,名义利率与名义贴现率之间的关系,考虑,与,(1.4.1),如果,m=p,则,(1.4.2),26,将,(1.4.2),式两端同乘以（,1-d,(m),/m),得,(1.4.3),它表明每一利息转换时期内利息与贴现的差额是因为期初本金相差,d,(m),/m,产生的。金额,d,(m),/m,依利率,i,(m),/m,在该利息转换时期末的利息就是,(i,(m),/m)(d,(m),/m),。,EX1,.,确定季度转换的名义利率使它等价于月度转换,6%,的名义贴现率。,EX2,.,证明,i,(m),=d,(m),(1+i),1/m,并按字面解释之。,27,1.5,利息效力与贴现效力,1.5.1.,利息效力,利息效力描述利息在时刻,t,的运行强度，它与资金金额无关，定义为,(1.5.1),称为时刻,t,的,利息效力,。,28,可用,t,描述,A(t),或,a(t),。,或,(1.5.3),EX,求单利的利息效力。,(1.5.2),29,利息效力在理论上可以随时变化。然而在实际中它经常保持为常数。如果利息效力在某时间区间上为常数，则实质利率在此区间上也为常数。这可在,n,个度量时期上用公式,(1.5.2),而得。,(1.5.4a),所以,或,(1.5.4b),30,1.5.2.,贴现效力,类似于 定义贴现效力为，,负号是为了保证此式 为正，但可证明,故只用,t,就足够了。,31,