现代仿真技术与应用-第二章系统的数学模型

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,现代仿真技术与应用,教师：陆艳洪,联系方式：,TEL:,88493458 转921,EMAIL:,yanhonglu,办公室：,实验大楼A913,1,现代仿真技术与应用,章节安排,第一章 概述,第二章 系统的数学模型,第三章 连续系统的数字仿真,第四章 离散事件系统仿真,第五章 面向对象的仿真,第六章 分布式交互仿真,第七章 可视化、多媒体、虚拟现实仿真,2,现代仿真技术与应用 第二章系统的数学模型,2.1 连续系统的数学模型,2.2 离散时间系统的数学模型,3,取决系统动态特性的两大因素：,现代仿真技术与应用 第二章系统的数学模型,清晰性,切题性,精确性,集合性,内因,外因,建立系统数学模型应遵循的原则：,4,输入系统向量,， n+1维,常用数学模型的表示形式,1,微分方程形式,设线性定常系统输入、输出量是单变量，分别为u(t),y(t),模型参数形式为：,输出系统向量,， m+1维,(2-1),现代仿真技术与应用 2.1连续系统的数学模型,5,常用数学模型的表示形式,2,传递函数形式,在零初始条件下，将(2-1) 方程两边进行拉氏变换，则有,(2-4),模型参数可表示为,传递函数分母系数向量,传递函数分子系数向量,用num=B,den=A分别表示分子，分母参数向量，则可简练的表示为(num,den)，称为传递函数二对组模型参数,现代仿真技术与应用 2.1连续系统的数学模型,6,3,状态空间表达式,当系统输入、输出为多变量时，可用向量分别表示为,U(t),Y(t),系统的内部状态变量为X(t).,模型参数形式为,：,系统系数矩阵A，系统输入矩阵B,系统输出矩阵C，直接传输矩阵D,简记为(A,B,C,D)形式。,(2-5),常用数学模型的表示形式,现代仿真技术与应用 2.1连续系统的数学模型,式中X为n维状态向量,7,4,结构图表示,常用数学模型的表示形式,现代仿真技术与应用 2.1连续系统的数学模型,k,1,f,1,u,y,+,-,8,1,微分方程转换为状态方程,数学模型之间的转换,现代仿真技术与应用 2.1连续系统的数学模型,(2-6),X=,.,X,1,.,X,2,.,X,n,.,=,AX+Bu=,0 1 0 0,0 0 1 0,-a,0,a,1,a,2,-a,n-1,X,1,X,2,X,n,+,0,0,1,u,Y=,CX+u=,1 0 0 0 X,a,b,c,d=tf2ss(num,den),9,例2-1设系统微分方程为：,y,(3),+ 6y,(2),+11y,(1),+6y,=6u,y为输出量，u为输入量，求系统状态空间表达式,数学模型之间的转换,现代仿真技术与应用 2.1连续系统的数学模型,解：,选取状态变量x,1,=y,x,2,=y,(1),x,3,=y,(2),将x,1,x,2,，x,3,代入原方程，得：,X,1,.,=x,2,X,2,.,=x,3,X,3,.,=-6x,1,-11x,2,-6x,3,+6u,X=,.,X,1,.,X,2,.,X,3,.,=,AX+Bu=,0 1 0,0 0 1,-6,11,6,X,1,X,2,X,3,+,0,0,6,u,Y=,CX+u=,1 0 0 ,X,1,X,2,X,3,10,数学模型之间的转换,现代仿真技术与应用 2.1连续系统的数学模型,解：,把微分方程变形为：,例2 系统的微分方程为 其中y(t)是输出函数，u(t)是输入函数。求系统状态空间表达式。,引入状态变量,：,则有,：,11,2,传递函数转换为状态方程（可控标准型）,数学模型之间的转换,现代仿真技术与应用 2.1连续系统的数学模型,(2-12),设系统传递函数为：,X=,.,0 1 0 0,0 0 1 0,-a,0,a,1,a,2,-a,n-1,X,1,X,2,X,n,+,0,0,1,u,Y=,CX=, b,0,b,1,b,n-1, X,12,数学模型之间的转换,现代仿真技术与应用 2.1连续系统的数学模型,例2.2设系统传递函数为：,y= -0.5 1.5 0 1 0X+1.5u,试写出可控标准型,+,0,0,0,u,0 1 0 0 0,0 0 1 0 0,-11,0,4 -2,X,1,X,2,X,4,X=,.,0 0 0 1 0,0 0 0 0 1,X,3,X,5,0,1,13,上次课回顾,现代仿真技术与应用 2.1连续系统的数学模型,1) 连续系统常用的数学模型;,外部模型,内部模型,框图,微分方程转换为状态方程,传递函数转换为状态方程,(,可控标准型）,0 1 0 0,0 0 1 0,-a,0,a,1,a,2,-a,n-1,A=,0,0,1,B=, b,0,b,1,b,n-1,C=,D=0,2) 连续系统数学模型之间的转换;,14,习题,现代仿真技术与应用 2.1连续系统的数学模型,1),系统的微分方程为 其中y(t)是输出函数，u(t)是输入函数。求系统状态空间表达式。,2)设系统传递函数为：,试写出可控标准型,15,习题,现代仿真技术与应用 2.1连续系统的数学模型,解：,把微分方程变形为：,引入状态变量,：,例 系统的微分方程为 其中y(t)是输出函数，u(t)是输入函数。求系统状态空间表达式。,C= 1 0,D= 0,16,习题,现代仿真技术与应用 2.1连续系统的数学模型,例设系统传递函数为：,试写出可控标准型,解：,17,2,传递函数转换为状态方程（可观标准型）,现代仿真技术与应用 2.1连续系统的数学模型,X=,.,0 0 0,-a0,1 0 0 a1,0,0,1,-a,n-1,X,1,X,2,X,n,+,b,0,b,1,b,n-1,u,Y=,CX=, 0 0,1 X,18,数学模型之间的转换,现代仿真技术与应用 2.1连续系统的数学模型,例2.2设系统传递函数为：,试写出可观标准型,+,-0.5,1.5,0,u,0 0 0 0 -1,1 0 0 0 -1,0 0,0,1 -2,X,1,X,2,X,4,X=,.,0 1 0 0 0,0 0 1 0 4,X,3,X,5,1,0,y= 0 0 0 0 1 X+1.5u,19,例题,现代仿真技术与应用 2.1连续系统的数学模型,设系统传递函数为：,试写出可观标准型,+,1,1,0,u,X,1,X,2,X=,.,0 0 -6,1 0 -11,0 1 -6,X,3,y= 0 0 1 X,解：,A=,0 0 -6,1 0 -11,0 1 -6,B=,1,1,0,C= 0 0 1 ,20,2,传递函数转换为状态方程（对角标准型）,数学模型之间的转换,现代仿真技术与应用 2.1连续系统的数学模型,设系统传递函数为：,X=,AX+Bu,.,Y=,CX,B= 1 1 1,T,C= c1 c2 c2 ,21,数学模型之间的转换,现代仿真技术与应用 2.1连续系统的数学模型,例2.2设系统传递函数为：,求其对角标准型,+,u,1 0,0 2 0,X,1,X,2,X=,.,0 0 -3,X,3,1,1,1,22,2,传递函数转换为状态方程（约当标准型）,数学模型之间的转换,现代仿真技术与应用 2.1连续系统的数学模型,设系统传递函数为：,C= c,11,c,12, c,1r,c,r+1, c,n,B= 0 0 0 0 1 1 1,T,第r行,1 0,1,0,第r行,A=,23,数学模型之间的转换,现代仿真技术与应用 2.1连续系统的数学模型,例2.2设系统传递函数为：,求其约当标准型,+,u,-2 1 0,0 -2 1,X,1,X,2,X=,.,0 0 -3,X,3,0,1,1,y= -2 3 1 X,24,化状态方程为传递函数,数学模型之间的转换,现代仿真技术与应用 2.1连续系统的数学模型,设系统的状态空间表达式为：,在零初始条件下取拉氏变换：,+D,其中:,adj,(sI-A,)为,sI-A,的伴随矩阵,num,den=ss2tf(a,b,c,d,iu),%iu指定是哪个输入,25,数学模型之间的转换,现代仿真技术与应用 2.1连续系统的数学模型,例设系统的状态方程为：,求传递函数,解:,特征多项式为:,伴随矩阵为:,26,常用数学模型,1,差分方程,式中：T为采样周期,输出变量的初始条件为,(2-54),现代仿真技术与应用 2.2离散时间系统的数学模型,2,z函数,对式(2-54)两边取z变换,并设y和u及其各阶差分的初始值均为0,可得:,3,离散状态空间表达式,4,结构图表示,(2-55),(2-56),27,常用数学模型,现代仿真技术与应用 2.2离散时间系统的数学模型,4,结构图表示,G,1,(z),G,2,(z),H(z),G,3,(z),u(z),y(z),v(z),+,-,28,1 线性状态方程的离散化,连续系统的离散化,设线性状态方程为：,现代仿真技术与应用 2.2离散时间系统的数学模型,(2-57) ,其解析解为:,给定采样间隔T，对kT和(k+1)T两个采样点的状态变量值为：,用e,AT,左乘（2-58）,与（2-59）相减，有 ：,对（2-60）积分项进行积分替换， =kT+t有 ：,(2-58),(2-59),(2-60),(2-61),29,上次课回顾,现代仿真技术与应用 2.1连续系统的数学模型,传递函数转换为状态方程,0 1 0 0,0 0 1 0,-a,0,a,1,a,2,-a,n-1,A=,0,0,1,B=, b,0,b,1,b,n-1,C=,D=0,1) 连续系统数学模型之间的转换;,可观标准型,可控标准型,A=,0 0 0,-a0,1 0 0 a1,0,0,1,-a,n-1,B=,b,0,b,1,b,n-1,C=, 0 0,1 ,D=,0,30,上次课回顾,现代仿真技术与应用 2.1连续系统的数学模型,传递函数转换为状态方程,对角标准型,B= 1 1 1,T,C= c1 c2 c2 ,31,上次课回顾,现代仿真技术与应用 2.1连续系统的数学模型,传递函数转换为状态方程,约当标准型,C= c,11,c,12, c,1r,c,r+1, c,n,B= 0 0 0 0 1 1 1,T,第r行,1 0,1,0,第r行,A=,32,上次课回顾,现代仿真技术与应用 2.1连续系统的数学模型,状态方程转换为传递函数,+D,其中:,adj,(sI-A,)为,sI-A,的伴随矩阵,求伴随矩阵方法有:,设系统的状态空间表达式为：,主对角元素：,原矩阵该元素所在行列去掉，求行列式；,非主对角元素：,原矩阵该元素共扼位置的元素所在行列去掉求行列式乘以（,-1,）,x+y,x,y,为共扼位置的行和列的序号。,33,1,差分方程,现代仿真技术与应用 2.2离散时间系统的数学模型,2,z函数,3,离散状态空间表达式,4,结构图表示,上次课回顾,离散时间系统常用的数学模型,34,1 线性状态方程的离散化,连续系统的离散化,设线性状态方程为：,现代仿真技术与应用 2.2离散时间系统的数学模型,(2-57) ,其解析解为:,给定采样间隔T，对kT和(k+1)T两个采样点的状态变量值为：,用e,AT,左乘（2-58）,与（2-59）相减，有 ：,对（2-60）积分项进行积分替换， =kT+t有 ：,(2-58),(2-59),(2-60),(2-61),35,1 线性状态方程的离散化,连续系统的离散化,若u(t)未知，采用近似方法对在kT和(k+1)T两个采样时刻之间的输入量u(kT+t)进行处理：,现代仿真技术与应用 2.2离散时间系统的数学模型,1),令u(kT+t),u(kT),代入（2-61） ：,(2-62),(2-64),2),通过kT和(k+1)T两个时刻点做直线逼近有 ：,36,2 传递函数的离散化,连续系统的离散化,现代仿真技术与应用 2.2离散时间系统的数学模型,1),加入采样器和信号保持器 ：,对系统的输入进行采样，得到离散的输入量；,然后用信号保持器将其恢复为连续信号；,作用到,G(S),后的输出再做同样的采样，得到离散的输出量。,2),替换法：,通过求出s与z的替换公式，将G()转换为G(z),欧拉法和图斯汀法,3),根匹配法：,利用s与z的转换关系z=exp(sT)，得到z平面的零、极点位置，得到G(z),37,2 传递函数的离散化,连续系统的离散化,现代仿真技术与应用 2.2离散时间系统的数学模型,1),加入采样器和信号保持器 ：,(2-65),y(kT),y(t),信号保持器G,h,(s),G(s),u(t),u(kT),G(z),保持器的传递函数G,h,(s),脉冲传递函数G(z),零阶：,一阶：,三角形：,38,传递函数的离散化,连续系统的离散化,现代仿真技术与应用 2.2离散时间系统的数学模型,若G(s)=1/s,求分别加入零阶、一阶和三角保持器时离散化后的差分方程 ：,零阶保持器：,一阶保持器：,39,传递函数的离散化,连续系统的离散化,现代仿真技术与应用 2.2离散时间系统的数学模型,若G(s)=1/s,求三角保持器时离散化后的差分方程 ：,三角保持器：,40,2 传递函数的离散化,连续系统的离散化,现代仿真技术与应用 2.2离散时间系统的数学模型,2）,替换法 ：,(2-72),a)欧拉变换,41,2 传递函数的离散化,连续系统的离散化,现代仿真技术与应用 2.2离散时间系统的数学模型,2）,替换法 ：,(2-72),b)图斯汀法,稳定性：,a小于等于0,42,例2.5给定二阶系统的传递函数为：,用替换法求系统的脉冲传递函数G(z)及差分方程（T=1）,现代仿真技术与应用 2.2离散时间系统的数学模型,连续系统的离散化,差分方程：,y(k+1)=1.11y(k)-0.852y(k-1)+0.185u(k+1)+0.37u(k)+0.185u(k-1),差分方程：,y(k+1)=1.8y(k)-1.8y(k-1)+u(k-1),43,作业,现代仿真技术与应用 2.2离散时间系统的数学模型,P43,1，2，3-1，3-2,44,