利用导数研究函数的极值课件

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,2021/2/4,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/2/4,1,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/2/4,*,*,*,利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的极值2021/2/42,2021/2/4,2,3,3.2,利用导数研究函数的极值,2021/2/4,3,2021/2/4,4,在群山之中，各个山峰的顶端，,虽然不一定是群山的最高处，但它却,是其附近所有点的最高点同样，各,个谷底虽然不一定是群山之中的最低,处，但它却是附近所有点的最低点群山的最高处是所有山峰中的最高者的顶部，群山中的最低处是所有谷底中的最低者的底部如图是函数,y,f,(,x,),的图象,2021/2/4,5,问题,1,：,y,f,(,x,),在,x,a,处的导数,f,(,a,),等多少？,提示：,f,(,a,),0.,问题,2,：当,x,a,时，,f,(,x,),取最大值吗？,提示：不是，但,f,(,a,),比,x,a,附近的函数值都大,问题,3,：在,x,a,附近两侧导数,f,(,x,),的符号有什么特点？,提示：左侧,f,(,x,)0,，右侧,f,(,x,)0.,问题,4,：当,x,d,时，请回答以上问题,提示：,f,(,d,),0,；,f,(,d,),比,x,d,附近的函数值都小；在,x,d,附近左侧,f,(,x,)0.,2021/2/4,6,1,极值点与极值的概念,已知函数,y,f,(,x,),及其定义域内一点,x,0,，对于存在一个包含,x,0,的开区间内的所有点,x,，如果都有,，则称函数,f,(,x,),在点,x,0,处取极大值，记作,，并把,x,0,称为函数,f,(,x,),的一个极大值点；如果都有,，则称函数,f,(,x,),在点,x,0,处取极小值，记作,，并把,x,0,称为函数,f,(,x,),的一个极小值点,极大值与极小值统称为极值，,和,统称为极值点,f,(,x,),f,(,x,0,),y,极小值,f,(,x,0,),极大值点,极小值点,2021/2/4,7,2,求可导函数,y,f,(,x,),极值的步骤,(1),求导数,f,(,x,),；,(2),求方程,的所有实数根；,(3),对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，,导函数,f,(,x,),的符号如何变化，如果,f,(,x,),的符号,，,则,f,(,x,0,),是极大值；如果,f,(,x,),的符号,，则,f,(,x,0,),是极,小值,如果在,f,(,x,),0,的根,x,x,0,的左右侧符号,，则,f,(,x,0,),不是极值,f,(,x,),0,由正变负,由负变正,不变,2021/2/4,8,假设函数,y,f,(,x,),、,y,g,(,x,),、,y,h,(,x,),在闭区间,a,，,b,的图象都是一条连续不断的曲线,(,如下图所示,),2021/2/4,9,问题,1,：这三个函数在,a,，,b,上一定能取得最大值与最小值吗？,提示：能,问题,2,：函数的极值一定是最大值或最小值吗？,提示：不一定，最大值或最小值也可能是区间端点的函数值,问题,3,：如何求函数的最大值和最小值？,提示：比较极值与端点的函数值，最大的为最大值，最小的为最小值,2021/2/4,10,1,函数在闭区间,a,，,b,上的最值,假设函数,y,f,(,x,),在闭区间,a,，,b,上的图象是,的曲线，该函数在,a,，,b,一定能够取得最大值与最小值，若函数在,(,a,，,b,),是可导的，该函数的最值必在,或,取得,2,求可导函数,y,f,(,x,),在,a,，,b,的最大,(,小,),值的步骤,(1),求,f,(,x,),在开区间,(,a,，,b,),内所有,；,(2),计算函数,f,(,x,),在,和,函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值,一条连续,不断,极值点,区间端点,极值点,极值点,端点的,2021/2/4,11,1,一个点为函数的极值点不但满足此点处导数值为零，还要满足在此点附近左右两侧函数的单调性相反，单调性一致时，不能作为极值点，如,f,(,x,),x,3,，,x,0,满足,f,(0),0,，但,x,0,不是极值点,2,函数的极值是一个局部概念，它反映的是某个点的函数值与它附近的函数值的大小情况,3,在定义域的某个区间内极大值或极小值并不一定唯一，也可能不存在极值，并且极大值不一定大于极小值,2021/2/4,12,4,函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最大,(,小,),值至多只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值,2021/2/4,13,2021/2/4,14,思路点拨,解答本题可先求使,f,(,x,),0,成立的点，再结合定义域研究这些点附近左右两侧函数的单调性，进而判断极值,2021/2/4,15,2021/2/4,16,2021/2/4,17,2021/2/4,18,2021/2/4,19,一点通,求极值的方法：,(1),求,f,(,x,),0,在函数定义域内的所有根；,(2),用方程,f,(,x,),0,的根将定义域分成若干小区间，列表；,(3),由,f,(,x,),在各个小区间内的符号，判断,f,(,x,),0,的根处的极值情况,2021/2/4,20,1,函数,y,2,x,2,x,3,的极值情况是,(,),A,有极大值，没有极小值,B,有极小值，没有极大值,C,既无极大值也无极小值,D,既有极大值又有极小值,2021/2/4,21,答案：,D,2021/2/4,22,解：,(1),函数,f,(,x,),x,3,3,x,2,9,x,5,的定义域为,R,，且,f,(,x,),3,x,2,6,x,9.,解方程,3,x,2,6,x,9,0,，得,x,1,1,，,x,2,3.,当,x,变化时，,f,(,x,),与,f,(,x,),的变化状态如下表：,因此，,x,1,是函数的极大值点，极大值为,f,(,1),10,；,x,3,是函数的极小值点，极小值为,f,(3),22.,x,(,，,1),1,(,1,3),3,(3,，,),f,(,x,),0,0,f,(,x,),10,22,2021/2/4,23,2021/2/4,24,例,2,已知函数,f,(,x,),x,3,ax,2,bx,a,2,在,x,1,处有极值,10.,求常数,a,，,b,的值,思路点拨,由函数,f,(,x,),在,x,1,处有极值,10,，可得,f,(1),0,且,f,(1),10,，由此列出方程求,a,，,b,的值，但还要注意检验求出的,a,，,b,的值是否满足函数取得极值的条件,2021/2/4,25,2021/2/4,26,一点通,已知函数极值，确定函数的解析式中的参数时，注意以下两点：,(1),根据极值点的导数为,0,和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解,(2),因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性,2021/2/4,27,答案：,3,2021/2/4,28,4,已知,f,(,x,),ax,3,bx,2,cx,(,a,0),在,x,1,时取得极值，且,f,(1),1,，,(1),试求常数,a,、,b,、,c,的值；,(2),试判断,x,1,时函数取得极小值还是极大值，并说明理由,2021/2/4,29,2021/2/4,30,2021/2/4,31,2021/2/4,32,2021/2/4,33,一点通,求函数在闭区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几点：,(1),对函数进行准确求导；,(2),研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；,(3),比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论,2021/2/4,34,2021/2/4,35,答案：,C,2021/2/4,36,2021/2/4,37,例,4,已知,f,(,x,),ln,x,x,a,，,x,(0,2,若,f,(,x,),f,(,x,),恒成立，只要,m,大于,f,(,x,),的最大值即可；同理，要使,m,f,(,x,),恒成立，只需,m,0,得,x,0,，由,f,(,x,)0,得,x,0),(1),求,f,(,x,),的最小值,h,(,t,),；,(2),若,h,(,t,)0),，,当,x,t,时，,f,(,x,),取得最小值,f,(,t,),t,3,t,1,，,即,h,(,t,),t,3,t,1.,(2),令,g,(,t,),h,(,t,),(,2,t,m,),t,3,3,t,1,m,，由,g,(,t,),3,t,2,3,0,得,t,1,1,，,t,2,1(,不符合题意，舍去,),列表：,2021/2/4,42,t,(0,1),1,(1,2),g,(,t,),0,g,(,t,),1,m,g,(,t,),在,(0,2),内有最大值,g,(1),1,m,.,h,(,t,),2,t,m,在,(0,2),内恒成立等价于,g,(,t,)0,在,(0,2),内恒,成立，,即等价于,1,m,0.,m,的取值范围为,(1,，,),2021/2/4,43,1,若,f,(,x,),在,(,a,，,b,),内有极值，那么,f,(,x,),在,(,a,，,b,),内绝不是单调函数，即在区间,(,a,，,b,),上的单调函数没有极值,2,在讨论可导函数,f,(,x,),在定义域内的极值时，若方程,f,(,x,),0,的实数根较多时，应注意使用表格，使极值点的确定一目了然,2021/2/4,44,3,求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数值为,0,的点，无需判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值,4,若函数,y,f,(,x,),的图象是一条连续不断的曲线，在区间,(,a,，,b,),内只有一个导数值为,0,的点，且在这一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点,2021/2/4,45,点击下图进入“应用创新演练”,2021/2/4,46,谢谢,