离散型随机变数

按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片文字樣式,第二層,第三層,第四層,第五層,*,*,離散型隨機變數,隨機,變數,離散型隨機變數的機率,分布,期望值,二項,分布,超幾何,分布,卜瓦松分布,隨機變數,定義,(,隨機變數,),隨機變數,(random variable),是一種函數對應，把樣本空間中每一個樣本點對應到一個數。,例,：,連續擲一枚硬幣三次，令,H,代表正面、,T,代表反面，則樣本空間為,S,=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT,HHH,3,HHT,2,TTH,1,TTT,0,像這樣的一種函數對應，就叫做隨機變數。,如果我們關心的是擲三次所得到的正面總數，則樣本空間中每一個樣本點都會對應一個數字。,隨機變數類型,離散型隨機變數,選修課程修課人數,服務多少位顧客,可能值都是非負整數，非負整數,0,、,1,、,2,、,當中的任兩個數之間都有間隔,連續型隨機變數,河川或水庫的可能水位,可能值會連起來，沒有間隔，因此不能用一個個單獨的值代表，而必須用區間表示,隨機變數,定義,若隨機變數的可能值是分散開的，叫做,離散型隨機變數,(discrete random variable),；,若可能值是連起來的，必須用區間表示，叫做,連續型隨機變數,(continuous random variable),。,註：,離散型隨機變數會考慮單獨一點的機率,連續型隨機變數則只考慮落在區間的機率，因為任何單獨一點的機率都是,0,。,離散型隨機變數的機率分布,機率函數,定義,(,機率函數,),設,X,為離散型隨機變數，其,機率函數,(probability function,p.f.),或,機率密度函數,(probability density function,p.d.f.),定義為,p,(,x,)=,P,X,=,x,註：,機率函數用在離散型隨機變數，機率密度函數用在連續型隨機變數。,通常,機率,質量,函數,(probability mass function,p.m.f.),用在離散型隨機變數,。,離散型隨機變數的機率函數,離散型隨機變數的機率函數,p,(,x,),必滿足下列條件：,1.,p,(,x,),0,對所有,x,成立。,2.,例,4.2-1,連續擲一枚均勻硬幣三次，令,X,代表擲出之正面總數，試求,X,之機率分布。,解：,X,之機率分布為,期望值,與變異數,期望值,定義,(,期望值,),若離散型隨機變數,X,的機率函數為,p,(,x,),，則,X,的,期望值,(expected value,expectation,或,mean),為,例,4.3-1,(,續例,4.2-3),試求小胖實際需要付的金額,(,元,),之期望值。,解：,期望值為,86.25,元的直觀意義大約為：,如果小胖重複消費許多次，每次都花費,100,元，抽獎之後可能有時要付,70,元，有時要付,95,元，但許多次的平均，會接近,86.25,元。,期望值,定義,(,期望值,),若離散型隨機變數,X,的機率函數為,p,(,x,),，而,g,為一,函數,，則,g,(,X,),仍是離散型隨機變數，其,期望值,為,例,4.3-3,設有一遊戲規則如下：參加者可擲一均勻硬幣三次，然後可獲得不同金額的獎金，獎金等於正面數的平方再加上,1(,以元為單位,),，而每玩一次要先繳,4,元。計算玩此項遊戲一次所得金額之期望值，以判斷此遊戲是否公平。,解：,X,之機率分布為,X,的線性函數之期望值,定理,(,X,的線性函數之期望值,),E,(,aX,+,b,)=,aE,(,X,)+,b,，,a,，,b,為常數,以上所列公式可以推廣應用到更多項相加的情況，例如,E,(,aX,2,+,bX,+,c,)=,aE,(,X,2,)+,bE,(,X,)+,c,例,4.3-4,(,續例,4.3-3),同樣的遊戲，如果獎金金額改為,h,(,X,)=2,X,2,-3,X,+1,，,X,代表正面總數，則玩此項遊戲一次所得金額的期望值是多少？,解：,變異數,定義,(,變異數,),隨機變數,X,的,變異數,(variance),為,2,=,V,(,X,)=,E,(,X,-,),2,，,標準差,(standard deviation),為,。,註：,2,=,V,(,X,)=,E,(,X,-,),2,=,E,(,X,2,)-,2,例,4.3-5,設,X,為離散型隨機變數，機率函數如下，試求,X,之變異數及標準差：,解：,X,之期望值：,X,的線性函數之變異數,定理,(,X,的線性函數之變異數,),V,(,aX,+,b,)=,a,2,V,(,X,),例,4.3-7,(,續例,4.3-5),設,X,為離散型隨機變數，機率函數如下，試求,2,X,-3,之變異數及標準差：,解：,變異數性質,因為,(,X,-,),2,0,，所以變異數,2,=,E,(,X,-,),2,的值必定是,非負,的。,若,2,=,E,(,X,-,),2,=0,，則代表,X,的值沒有任何分散的情況也就是，,X,等於常數，有人稱這種隨機變數叫做,退化的隨機變數,(degenerate random variable),。嚴格說來，這樣的,X,已不夠資格叫做隨機變數了，因為它的值永遠都一樣，毫無變化。,二項分布,二項分布,隨機變數,X,若符合以下描述，即稱為,二項隨機變數,(binomial random variable),，其分布稱為,二項分布,(binomial distribution),，,參數為,n,及,p,，以符號,X,B,(,n,p,),表示：,1.,同一隨機試驗,重複,做,n,次。,2.,每一次試驗的結果只有,兩種可能,：成功,(S),或失敗,(F),。,3.,每一次試驗的,成功機率相同,，用,p,代表。,4.,各次試驗之間,相互獨立,。,5.,X,等於,n,次試驗的成功總次數,。,符合以上第,1,項到第,4,項描述的試驗，便叫做,二項隨機試驗,(binomial random experiment),。,伯努利試驗,二項式,試驗若只做一次，叫做,伯努利試驗,(Bernoulli trial),。,若令,X,等於試驗的成功次數，則,X,的可能值只有,0,或,1(,結果得到成功，則,X,=1,，否則,X,=0),，我們稱,X,為伯努利隨機變數,，,參數為,p,=,P,(,X,=1),。,二項隨機變數可視為,n,項互相獨立、參數相同的伯努利隨機變數的和。,設,X,1,X,2,X,n,為互相獨立的伯努利隨機變數，,p,=,P,(,X,i,=1),，則,的分布是參數為,n,、,p,之二項分布。,例,4.4-1,盒子裡裝著,1,顆白球和,2,顆紅球。若從盒子中隨意取出一球，記錄顏色後放回，重複執行,5,次，則,5,次中紅球正好出現,3,次的機率是多少？,解：,二項分布的機率函數,若,X,B,(,n,p,),，則,X,的機率函數為,二項分布的應用,品管工程師會關心瑕疵品的比例是否過高,因為產品數量太大，通常只能抽驗,抽驗產品屬於取出不放回形式，前後結果之間不獨立,在產品總數量極大，抽出檢查的件數相對來說很小時，取出不放回和取出放回差別不大，可視為前後結果互相獨立,在此假設下，若從生產線上隨機抽出若干件產品來檢驗，則瑕疵品的總件數可視為符合二項分布,精品店關心的是來店的顧客是否有消費,經過長時間的紀錄，發現進店後有消費的顧客比例是,p,，則,n,位顧客中的消費人數，亦大致可視為參數為,n,及,p,的二項隨機變數。,例,4.4-2,某次統計學小考，老師出了,10,題單選題，每題有,4,個選項。小翰完全沒讀書，每一題都是瞎猜，試求他,(a),恰好答對,5,題的機率；,(b),至少答對,6,題的機率。答案用式子表示即可，不須計算。,解：,期望值和變異數,若,X,B,(,n,p,),，則,X,之期望值和變異數公式為,E,(,X,)=,np,V,(,X,)=,np,(1-,p,),例,4.4-5,每期統一發票收執聯末三位數號碼與頭獎中獎號碼末三位相同者，可得六獎，獎金,200,元。如果某期統一發票共開出三組頭獎號碼,(,三組的末三位號碼都不相同,),，阿邦和家人共蒐集了該期,200,張發票，則他們會中該期發票六獎的發票張數之期望值會是多少？,解：,若令,X,代表,200,張發票中，中,6,獎的張數，則,X,B,(200,，,),，因此,X,的期望值等於,超幾何分布,超幾何分布,總共有,N,個物件、分成兩類,，其中第一類有,M,件、第二類有,N,-,M,件，從,N,件中任意抽出,n,件，,取出不放回,，我們關心的是所抽出,n,件當中，第一類恰有,x,件的機率。若令,X,代表在上述架構下，所抽出,n,件中第一類的件數，,X,就叫做超幾何隨機變數,，,參數為,N,、,M,、,n,，其機率函數如下：,若,X,為參數,N,、,M,、,n,的超幾何隨機變數，則其機率函數為,x,為非負整數,符號,max(,a,b,),，代表,a,b,中較大的數；符號,min(,a,b,),，則代表,a,b,中較小的數。,例,4.5-1,容器中有,3,顆紅球、,5,顆白球，從中任取,4,顆，取出不放回。令,X,代表,4,顆中紅球的顆數，試寫出,X,的機率函數。,解：,期望值和變異數,若,X,為參數,N,、,M,、,n,的超幾何隨機變數，其期望值和變異數為,例,4.5-3,某選修課有,15,位同學修習，其中四年級,4,位、三年級,11,位。某次上課，老師以隨機抽座號的方式任意選出,5,位同學上台做報告。令,X,代表,5,位同學中的四年級同學人數，試求,(a),X,的機率函數；,(b),X,的期望值和變異數。,解：,超幾何分布與二項分布,當,N,很大、,n,卻很小時參數,N,、,M,、,n,的超幾何隨機分布，可以用參數為,n,和,的二項分布來逼近。,例,4.5-4,某百貨公司週年慶時把,2000,件過季,T,恤放在花車用超低價促銷，其中有,600,件略有瑕疵。阿花很勇猛的隨便抓了,10,件，試求,10,件,T,恤中，瑕疵品不超過,2,件的機率。,解：,瑕疵品不超過,2,件的機率,P,(,X,2),大約等於,卜瓦松分布,卜瓦松分布,一大張壁紙上的瑕疵數，某網站在某時段十分鐘之內的上網瀏覽人數，或者某路段一個月之內的車禍數，這些都屬於,計次型的離散變數,。雖然計次的對象不同，但這類變數常符合某些共同性質，且根據這些性質可以導出一族特定的分布，叫做,卜瓦松分布,(Poisson distribution),，它有一個,參數,為特定範圍內的平均發生次數,；此處範圍做廣義解釋，有可能是一段時間、或一個區域等等。,參數為,的卜瓦松隨機變數,X,，其,機率函數,為,其中的,e,為實數，,e,=2.71828,。,例,4.6-1,假設秘書張小姐所打的文件，平均每一頁有,0.5,個錯。某天，她替上司打了一份,12,頁的報告。假設錯誤數,X,符合卜瓦松分布，試求該份報告當中,(a),恰好有,2,個錯的機率；,(b),至少有,4,個錯的機率；,(c),完全沒有錯誤的機率。,解：,期望值和變異數,若,X,為參數的卜瓦松隨機變數、則其期望值和變異數為,E,(,X,)=,V,(,X,)=,例,4.6-2,假設某眼科診所在上班日白天,(,早上,9,點到下午,5,點,),的求診人數符合卜瓦松分布，平均每小時,3,位病人。令,X,代表某個上班日從,10,：,00,到,11,：,12,的求診人數，求,(a),X,的期望值和變異數,(b),P,(,X,3),解：,(a),從,10,：,00,到,11,：,12,中間有一小時,12,分鐘，也就是,1.2,小時，所以這段時間的平均求診人數是,=3,1.2=3.6,X,的期望值和變異數都等於,3.6,。,(b),P,(,X,3)=1-,P,(,X,2)=1-0.3027=0.6973,二項分布與卜瓦松分布,當,n,較大、,p,卻很小時,，,n,較大、,p,很小並沒有一定的標準。,一般來說，,n,至少應該要滿足,n,20,，且,p,的大小和,n,的大小