函数的奇偶性及奇偶函数的图象

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函数奇偶性,函数 y=f(x)在定义域 A 内任取一个 x A，且 x A,1)都有 f(x)=f(x),2)都有 f(x)=f(x),3)都有 f(x)f(x)且 f(x)f(x),则 f(x)是,偶函数,则 f(x)是,非奇非偶函数,则 f(x)是,奇函数,问题：1）奇偶性在什么范围内考虑的？,2）在定义域 A 内任取一个 x,则 x 一定在定义域 A 内吗？,注意：1）奇偶性在整个定义域内考虑；,2）定义域若不是关于原点对称的区间，则 f(x)是,非奇非偶函数；,3）考虑函数奇偶性必需先求出,定义域,。,例1、判断下列函数是否有奇偶性：,1）f(x)=6x,6,+3x,2,+1 2）f(x)=x,3,+x,5,解：此函数的定义域为 R,f(x)=6(x),6,+3(x),2,+1,=6 x,6,+3 x,2,+1,=f(x),f(x)是,偶函数,解：此函数的定义域为 R,f(x)=(x),3,+(x),5,=x,3,x,5,=(x,3,+x,5,),=f(x),f(x)是,奇函数,3）f(x)=x,2,+2x+4 4）f(x)=,解：此函数的定义域为 R,f(x)=(x),2,+2(x)+4,=x,2,2x +4,f(x)是,非奇非偶函数,解：此函数的定义域为 2,+),f(x)是,非奇非偶函数,例2：判断函数 f(x)=的奇偶性,解：由题,4,1,0,1,函数的定义域为,1,0)(0,1,此时 f(x)=,=f(x),故,f(x)是奇函数,判定函数的奇偶性的步骤：,1）先求函数的定义域；,若定义域,不是,关于原点对称的区间，则函数为,非奇非偶函数,若定义域,是,关于原点对称的区间，进入第二步；,2）计算 f(x)化向 f(x)的解析式；,若等于 f(x)，则函数是,偶函数,若等于 f(x)，则函数是,奇函数,若不等于 ，则函数,是非奇非偶函数,3）结论。,奇偶函数的图象,想一想,观察下列函数的奇偶性，并指出图象有何特征？,x,y,o,y=x,2,2,x,y,o,y=x,3,x,y,o,y=x+1,图象,奇偶性,图 象 特 征,（1）,（2）,（3）,奇函数,关于原点成中心对称,关于 y 轴成轴对称,偶函数,非奇非偶函数,简称,关于原点对称,简称,关于 y 轴对称,不关于原点及 y 轴对称,定理：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称；,反之，如果一个函数的图象关于原点（y 轴）对称，那么这个函数是,奇（偶）函数。,此定理的作用：,简化函数图象的画法。,例3、如图给出函数图象的一部分，用对称法作出下列函数的图象：,x,y,o,x,y,o,1）若函数是奇函数,2）若函数是偶函数,例4、作出函数 y=x,2,|x|6 的图象,解：当 x 0 时，y=x,2,x 6,当 x 0 时，y=x,2,+x 6,x,y,o,若利用对称法作图：,先作出 x 0 的图象,再用对称法作出另一半的图象；,可知 函数是偶函数,例5、已知 f(x)是奇函数，当 x 0 时，f(x)=x,2,2x，求当 x 0 时，,f(x)的解析式，并画出此函数 f(x)的图象。,x,y,o,解：f(x)是奇函数,f(x)=f(x),即 f(x)=f(x),任意取x 0 时，则 x,0,x,0,时,f(x)=x,2,2x,f(x),=(x),2,2(x),=x,2,+2x,f(x)=f(x)=（x,2,+2x）,例6、已知 f(x)是偶函数，而且在(,0)上是增函数，,问 f(x)在(0，+)上是增函数还是减函数？,解：设 0 x,1,x,2,+,在所证区间上取值,则 x,2,x,1,0,f(x)在(,0)上是增函数,f(x,2,)f(x,1,),f(x)是偶函数,f(x,2,)f(x,1,),故,f(x)在(0，+)上是减函数,课堂作业,1.已知 f(x)是奇函数，而且在(,0)上是增函数，,问 f(x)在(0，+)上是增函数还是减函数？,2、作出下列函数的图象：,1）y=|2x,|,2）y=x,2,+2|x|,3、,已知 f(x)是偶函数，当 x 0 时，f(x)=x,2,2x+1，求,当 x 0 时，f(x)的解析式，并画出此函数 f(x)的图象。,