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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第三节 函数的单调性及极值,Function monotony and extreme value,一、单调性的判别法,二、单调区间求法,三、函数极值的定义,四、函数极值的求法,五、小结 思考题,一、单调性的判别法,定理,证,应用拉氏定理,得,例1,解,注意:,函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,二、单调区间求法,问题:,如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:,若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的,单调区间,.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,例2,解,单调区间为,例3,解,单调区间为,例4,证,注意,:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,三、函数极值的定义,定义,函数的极大值与极小值统称为,极值,使函数取得极值的点称为,极值点,.,四、函数极值的求法,定理1,(必要条件),定义,注意,:,例如,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),求极值的步骤:,(不是极值点情形),例1,解,列表讨论,极大值,极小值,图形如下,定理3(第二充分条件),证,例2,解,图形如下,注意:,例3,解,注意:,函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,五、小结,单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,极值是函数的局部性概念:,极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为,临界点,.,函数的极值必在,临界点,取得.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),思考题,2、下述命题正确吗？,思考题1解答,不能断定.,例,但,当 时，,当 时，,注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内， 都不单调递增,思考题2解答,不正确,例,在1和1之间振荡,故命题不成立,练 习 题1,练 习 题2,练习题1答案,练习题2答案,当 时，,当 时，,注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内， 都不单调递增,
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