函数解析式、定义域、值域

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第二章 函数,第一节：函数解析式、定义域、值域,常考题型：选择题,分值：,5,分（一道）,难度：中低档,2,第一节：函数解析式、定义域、值域,考点一：函数的概念,3,第一节：函数解析式、定义域、值域,4,第一节：函数解析式、定义域、值域,C,5,第一节：函数解析式、定义域、值域,C,6,函数定义域的类型和求法,1.,当函数是整式时例如 那么函数的定义域是实数集,R,。,2.,如果函数中含有分式,那么函数的分母必须不为零。,3.,如果函数中含有偶次根式,那么根号内的式子必须不小于零。,4.,零的零次幂没有意义,即,f(x)=x,0,，,x0,。,5.,对数的真数必须大于零。,6.,对数的底数满足大于零且不等于,1,。,求函数定义域注意以下几点：,一、常规型,即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式,(,或组,),即得原函数的定义域。,例1求函数,的定义域。,解:要使函数有意义,则必须满足,由解得x-3或x5,由解得x5或x-11 ,由和求交集得x-3且x-11或x5,故所求函数的定义域为x| x-3且x-11x|x5。,(-2,-11,2),(2x4,且,x3,（,1,/,2,1,X1,/,10,且,x1,）,二、抽象函数型,抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。,(,1),已知,f(x),的定义域,求,fg(x),的定义域,。,其解法是,:,已知,f(x),的定义域是,a,b,求,fg(x),的定义域是解,ag(x)b,即为所求的定义域。,例,1,已知,f(x),的定义域为,2,2,求,f(x,2,-1),的定义域。,解：令,-2x,2,-12,，得,-1x,2,3,，即,0x,2,3,，,因此,，从而,故函数的定义域是,（,2,）已知,fg(x),的定义域，求,f(x),的定义域。,其解法是：已知,fg(x),的定义域是,a,，,b,，求,f(x),定义域的方法是：由,axb,，求,g(x),的值域，即所求,f(x),的定义域。,例,2,已知,f(2x+1),的定义域为,1,2,求,f(x),的定义域。,解：因为,1x2,22x4,32x+15.,即函数,f(x),的定义域是,x|3x5,。,(3),已知,f(2x-1),的定义域是,0,1,求,f(3x),的定义域。,解,:,因为,0x1,02x2,-12x-11.,所以函数,f(3x),的定义域是,-13x1,即,x|-1/3x1/3,。,例,3,已知函数,的定义域为,R,求实数,m,的取值范围。,分析：函数的定义域为,R,，表明,mx,2,-6mx+8+m0,，使一切,xR,都成立，由,x,2,项的系数是,m,，所以应分,m=0,或,m0,进行讨论。,解：当,m=0,时，函数的定义域为,R,；,当,m0,时，,mx,2,-6mx+8+m0,是二次不等式,其对一切实数,x,都成立的充要条件是,综上可知,0m1,。,注,:,不少同学容易忽略,m=0,的情况,希望通过此例解决问题。,例,4,已知函数,的定义域是,R,，求实数,k,的取值范围。,解,:,要使函数有意义,则必须,kx,2,+4kx+30,恒成立,因为,f(x),的定义域为,R,即,kx,2,+4kx+3=0,无实数根,当,k0,时，,=16k,2,-43k0,恒成立，,解得,当,k=0,时，方程左边,=30,恒成立。,综上,k,的取值范围是,四,.,实际问题型,:,函数的定义域除满足解析式外,要注意问题的实际意义对自变量的限制,须要加倍注意,并形成意识。,例,5,将长为,a,的铁丝折成矩形，求矩形面积,y,关于一边长,x,的函数的解析式，并求函数的定义域。,解,:,设矩形一边为,x,则另一边长为,于是可得矩形面积,由问题的实际意义，知函数的定义域应满足,故所求函数的解析式为,定义域为(0, ),常用的求函数的值域的方法有以下几种：,1.直接法,2.配方法,3.换元法,4.判别式法,5.分离系数法,6图像法,1.,直接法,：,有的函数的结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察求出函数的值域。,例,1,：求函数 的值域,二、配方法,：,形如,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),的函数常用配方法求函数的值域,要注意,f,(,x,),的取值范围,.,例,2,(1),求函数,y,=,x,2,+2,x,+3,在下面给定闭区间上的值域,: ,-,4,-,3,; ,-,4, 1,; ,-,2, 1,三：换元法,通过代数换元法或者三角函数换元法,把无理函数化为代数函数来求函数值域的方法,(,关注新元的取值范围,),.,例,3,求函数 的值域,:,注：换元法是一种非常重工的数学解题方法，它可以使复杂问题简单化，但是在解题的过程中一定要注意换元后新元的取值范围。,y,=,x,-,x,-,1,3,、求下列函数的值域：,（,1,）,y = x +,解：设,t =,则,x = 1,t,2,且,t,0,y = 1,t,2,+ t,x,y,o,1,由图知：,故函数的值域为,（,2,）,y = 2x,3 +,解：设,t =,x,y,o,由图知：,故函数的值域为：,四、判别式法,例,4,求函数,y,=,的值域,.,主要适用于形如,y,=,(,a,d,不同时为零,),的函数,(,最好是满足分母恒不为零,),.,ax,2,+,bx,+,c,dx,2,+,ex,+,f,能转化为,A(,y,),x,2,+B(,y,),x,+C(,y,)=0,的函数常用判别式法求函数的值域,.,求函数,y =,的值域,解：由题知,x R,，则有,2yx,2,+ 2yx + y = x,2,2x,3,( 2y,1 )x,2,+ 2( y + 1 )x + ( y + 3 ) = 0,故函数的值域为,4,，,1 ,例,5,、求下列函数的值域,:,(1),y =,解：由,故函数的值域为,分离常数法,-,可将其分离出一个常数,练习求下列函数的值域,(1)y=3x+2(-1x1),(2),解,:(1),-33x3,-13x+25,即,-1y5,值域,是,-1，5,y=,-1x1,解,:(2),y1,即函数的,值域,是, y| y,R,且,y,1,求下列函数的值域：,（,1,）,y =,（,2,）,y =,（,3,）,y = x,2,+4x+3 (-3,x1,),（,4,）,y =3-2x-x,2,x-3,1,变式,:(1),求函数 的值域,(2),求函数, x 3,5,的值域,（,5,）、求下列函数的值域,:,（,1,）,y = | x + 1 |,| 1,x,|,解：由,y = | x + 1 |,| x,1 |,当,x ,1,时，,y =,( x + 1 ) + ( x,1 ) =,2,当 ,1,x 1,时，,y = ( x + 1 ) + ( x,1 ) = 2x,当,x,1,时，,y = ( x + 1 ),( x,1 ) = 2,x,y,1,1,2,2,o,由图知： ,2 y 2,故函数的值域为,2,，,3 ,第一节：函数解析式、定义域、值域,35,把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式就叫,函数的解析式,，简称,解析式,.,二、求函数解析式的常用方法有：,一、函数的解析式,:,(1),代入法,(,2,),待定系数法,(,3,),换元法,(,4,),配凑法,(,5,),方程组法,例1,（1）,代入法,（1）,代入法,设 求,例2 已知一次函数,y,f,(,x,),，,f,(1),1,，,f,(,-,1),-,3,，,(1),求,f,(,x,),的解析式,； (2),求,f,(3),（2）,待定系数法,思路分析：,一次函数的一般形式，根据题设条件求待定系数即可,1.已知一次函数,f,(,x,),满足,f,f,(,x,),4,x,6,，则,f,(,x,),_.,2.已知二次函数,f,(,x,),满足,f,(0),1,，,f,(1),2,，,f,(2),5,，求该二次函数的解析式,（3）换元法,适合：,已知,f,g,(,x,)的解析式,求,f,(,x,).,换元法,例3 已知 求 ，,（4）拼凑法,例4.已知函数,f,(,x,1),x,2,2,x,，求,f,(,x,),_.,解：,因为,f,(,x,1),=,x,2,2,x,(,x,2,2,x,1),(4,x,4),3,(,x,1),2,4(,x,1),3,，,所以,f,(,x,1),(,x,1),2,4(,x,1),3,，,即,f,(,x,),x,2,4,x,3.,(,换元法,),令,x,1,t,，则,x,t,1,，,可得,f,(,t,),(,t,1),2,2(,t,1),t,2,4,t,3,，,即,f,(,x,),x,2,4,x,3.,例5 已知,，求,解：,由,解得,消元法,（5）方程组法,适合,: 同时含有,1.,已知,求,f(x)的解析式.,解：,1.已知反比例函数f(x),满足f(3)6，求f(x)的解析式.,巩固作业,