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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,函数奇偶性,函数,y = f ( x ),在定义域,A,内任取一个,x A,，且 ,x A,1),都有,f (,x ) = f ( x ),2),都有,f (,x ) =,f ( x ),3),都有,f (,x ) ,f ( x ),且,f (,x ) f ( x ),则,f ( x ),是,偶函数,则,f ( x ),是,非奇非偶函数,则,f ( x ),是,奇函数,问题：,1,）奇偶性在什么范围内考虑的？,2,）在定义域,A,内任取一个,x ,则 ,x,一定在定义域,A,内吗？,注意：,1,）奇偶性在整个定义域内考虑；,2,）定义域若不是关于原点对称的区间，则,f ( x ),是,非奇非偶函数；,3,）考虑函数奇偶性必需先求出,定义域,。,例,1,、判断下列函数是否有奇偶性：,1,）,f ( x ) = 6x,6,+ 3x,2,+ 1 2,）,f ( x ) =,x,3,+ x,5,解：此函数的定义域为,R, f (,x ) = 6 (,x ),6,+ 3 (,x ),2,+ 1,= 6 x,6,+ 3 x,2,+ 1,= f ( x ), f ( x ),是,偶函数,解：此函数的定义域为,R, f (,x ) =,(,x ),3,+ (,x ),5,= x,3,x,5,=,(,x,3,+ x,5,),=,f ( x ), f ( x ),是,奇函数,3,）,f ( x ) = x,2,+ 2x + 4 4,）,f ( x ) =,解：此函数的定义域为,R, f (,x ) = (,x ),2,+ 2 (,x ) + 4,= x,2,2x + 4, f ( x ),是,非奇非偶函数,解：此函数的定义域为,2 , + ), f ( x ),是,非奇非偶函数,例,2,：判断函数,f ( x ) =,的奇偶性,解：由题,4,1,0,1,函数的定义域为,1 , 0 ) ( 0 , 1 ,此时,f ( x ) =,=,f ( x ),故,f ( x ),是奇函数,判定函数的奇偶性的步骤：,1,）先求函数的定义域；,若定义域,不是,关于原点对称的区间，则函数为,非奇非偶函数,若定义域,是,关于原点对称的区间，进入第二步；,2,）计算,f (,x ),化向,f ( x ),的解析式；,若等于,f ( x ),，则函数是,偶函数,若等于 ,f ( x ),，则函数是,奇函数,若不等于 ，则函数,是非奇非偶函数,3,）结论。,奇偶函数的图象,想一想,观察下列函数的奇偶性，并指出图象有何特征？,x,y,o,y = x,2,2,x,y,o,y = x,3,x,y,o,y = x + 1,图象,奇偶性,图 象 特 征,（,1,）,（,2,）,（,3,）,奇函数,关于原点成中心对称,关于,y,轴成轴对称,偶函数,非奇非偶函数,简称,关于原点对称,简称,关于,y,轴对称,不关于原点及,y,轴对称,定理：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于,y,轴对称；,反之，如果一个函数的图象关于原点（,y,轴）对称，那么这个函数是,奇（偶）函数。,此定理的作用：,简化函数图象的画法。,例,3,、如图给出函数图象的一部分，用对称法作出下列函数的图象：,x,y,o,x,y,o,1,）若函数是奇函数,2,）若函数是偶函数,例,4,、作出函数,y = x,2,| x |,6,的图象,解：当,x 0,时，,y = x,2,x,6,当,x,0,时，,y = x,2,+ x,6,x,y,o,若利用对称法作图：,先作出,x 0,的图象,再用对称法作出另一半的图象；,可知 函数是偶函数,例,5,、已知,f ( x ),是奇函数，当,x 0,时，,f ( x ) = x,2,2x,，求当,x,0,时，,f ( x ),的解析式，并画出此函数,f ( x ),的图象。,x,y,o,解：,f ( x ),是奇函数, f (,x ) =,f ( x ),即,f ( x ) =,f (,x ),任意取,x,0,时，则 ,x,0, x,0,时,f ( x ) = x,2,2x, f (,x ),= (,x ),2,2(,x ),= x,2,+ 2x, f ( x ) =,f (,x ) =, （,x,2,+ 2x,）,例,6,、已知,f ( x ),是偶函数，而且在,(, 0 ),上是增函数，,问,f ( x ),在,( 0,，,+ ),上是增函数还是减函数？,解：设,0,x,1,x,2,+ ,在所证区间上取值,则 ,x,2,x,1,0, f ( x ),在,(, 0 ),上是增函数, f (,x,2,),f (,x,1,), f ( x ),是偶函数, f ( x,2,),f ( x,1,),故,f ( x ),在,( 0,，,+ ),上是减函数,课堂作业,1.,已知,f ( x ),是奇函数，而且在,(, 0 ),上是增函数，,问,f ( x ),在,( 0,，,+ ),上是增函数还是减函数？,2,、作出下列函数的图象：,1,）,y = | 2x,|,2,）,y = x,2,+ 2| x |,3,、,已知,f ( x ),是偶函数，当,x 0,时，,f ( x ) = x,2,2x + 1,，求,当,x,0,时，,f ( x ),的解析式，并画出此函数,f ( x ),的图象。,知识回顾,Knowledge Review,
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