大数定律与中心极限定理

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究.极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:,与,大数定律,中心极限定理,下面我们先介绍大数定律,3.4大数定律与中心极限定理,字母使用频率,大量的随机现象中平均结果的稳定性,大数定律的客观背景,大量抛掷硬币,正面出现频率,生产过程中的,废品率,阐明大量的随机现象平均结果的稳定性的一系,列定理统称为大数定律。,依概率收敛,与微积分学中的收敛性的概念类似,在概率论中,我们要考虑随机变量序列的收敛性.,的概率几乎等于1，即,则称随机变量序列,X,n,依概率收敛于,记作,当,n,充分大时，事件,定义1,如果对于任意,切比雪夫不等式.,则对于任给 0,有,设随机变量,X,的数学期望,E,(,X,)和方差 存在，,由切比雪夫不等式可以看出,若,越小,则事件,的概率越大,即,随机变量,集中在期望附近的可能性越大.由此可见,方差刻划了随机变量取值的离散程度.,例1,已知正常男性成人血液中,每一毫升白细胞数平均是7300,均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率.,解,设每毫升白细胞数为,依题意,所求概率为,由切比雪夫不等式,即每毫升白细胞数在5200 9400之间的概率不小于8/9.,几个常见的大数定律,定理1,（,Chebyshev,切比雪夫大数定律）,切比雪夫,设,X,n,是相互独立的随机变量序列，存在，其方差一致有界，即,D,(,X,i,),L,，,i,=1,2,，,则对任意的,0，,依概率收敛于其数学期望,.,定理表明:当,很大时,随机变量序列,的算术平均值,随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于1.,即当,n,充分大时，,差不多不再是,切比雪夫大数定律表明，独立随机变,偏差很小的概率接近,于1.,量序列,X,n,，如果方差一致有界，则,与其数学期望,切比雪夫大数定律给出了,平均值稳定性的科学描述,推论,设随机变量序列,X,n,独立且都服从某,则对于任意,恒有,个分布，它们的数学期望及方差均存在，,即,注 一般地，我们要求出随机变量,X,的数学期,来估计,EX,。当,n,充分大时，偏差不会太大。,机变量X的分布时求,EX,的方法，即用,知道,EX,，上述的推论告诉了我们,在不知随,我们往往在不知随机变量,X,的分布时，希望,望，必须知道随机变量,X,的分布。但实际中，,这一点我们将会在数理统计中看到。,定理2,(伯努利大数定律)设 是 重伯努利试,验中事件A出现的次数,又A在每次试验中出,即频率,依概率收敛于概率,即,则对于任意的,现的概率为,有,注贝努里大数定律从理论上证明了频率的稳定性,下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.,设随机变量序列,X,1,X,2,独立同分布，且数学期望,E,(,X,i,)=,i,=1,2,，则对任给,0，,定理3,（,辛钦大数定律,）,辛钦,注（1）辛钦大数定律与定理1的推论的区别,在，辛钦大数定律与方差无关。,（3）贝努里大数定律是辛钦大数定律的特,例,而辛钦大数定律在应用中是非常重,要的。,（2）由于证明辛钦大数定律要用特征函数,的知识，故证明略。,二、中心极限定理,中心极限定理的客观背景,在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.,例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.,空气阻力所产生的误差，,对我们来说重要的是这些,随机因素的总影响,.,如瞄准时的误差，,炮弹或炮身结构所引起的误差等.,观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.,自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见.,现在我们就来研究独立随机变量之,和,所特有的规律性问题.,在概率论中，习惯于把,和的分布,收敛于正态分布这一类定理都叫做,中心极限定理,.,中心极限定理回答了大量独立随机变量和的,近似分布问题,其结论表明:当一个量受许多随机,因素(主导因素除外)的共同影响而随机取值,则它,的分布就近似服从正态分布.,定理1,李雅普诺夫定理,设随机变量,相互独立,它们具有数学期望和方差:,，记,若存在正数,使得当,时,则随机变量之和,的标准化变量:,的分布函数,对于任意,满足,注,：,定理1表明,在定理的条件下,随机变量,当,很大时,近似地服从正态分布,由此,当 很大时,近似地服从正态分布,这就是说,无论各个随机变量 服从什么分布,只要,.,满足定理的条件,那么它们的和 当 很大时,就近似地服从正态,分布.,定理2,（,独立同分布下的中心极限定理,）,设,X,1,X,2,X,n,是独立同分布的随机,变量序列，且,E,(,X,i,)=，,D,(,X,i,)=，,i,=1,2,n,，则,注 1）证明所需要的知识已超出范围，证明略。,列维一林德伯格,（,Levy,Lindberg,）定理.,独立同分布，且它们的数学期,2）中 心极限 定理表明，若 随 机 变 量 序 列,都,近似,服从正态分布.(注意:不一定是,即,望及方差存在，则当,n,充分大时，其,和的分布,3）中心定理还表明：无论每一个随机变量,在和,的分布中起的作用很微,服从什么分布，只要每一个随机变量,近似服从正态分布。,小，则,标准正态分布）,例1,根据以往经验，某种电器元件的寿命服,从均值为100小时的指数分布.现随机地取,16只,设它们的寿命是相互独立的.求这16,只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.,由题给条件知，诸,X,i,独立，,16只元件的寿命的总和为,解:设第,i,只元件的寿命为,X,i,i,=1,2,16,E,(,X,i,)=100,D,(,X,i,)=10000,依题意，所求为,P,(,Y,1920),由题给条件知,诸,X,i,独立,16只元件的寿命的总和为,解:设第,i,只元件的寿命为,X,i,i,=1,2,16,E,(,X,i,)=100,D,(,X,i,)=10000,依题意，所求为,P,(,Y,1920),由于,E,(,Y,)=1600,D,(,Y,)=160000,由中心极限定理,近似,N,(0,1),P(,Y,1920)=1-P(,Y,1920),=1-,(0.8),1-,=1-0.7881=0.2119,定理3,(棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理),设 是 重伯努利试验中事件A出现的次数,又A在每次试验中出现的概率为,则对于任意的实数 有:,注 1）德莫佛拉普拉斯定理表明:二项分布,以正态分布为极限;,3）设随机变量X,当,n,充分大时,2)棣莫佛拉普拉斯定理是中心极限定理,的特殊情况.,设 为,重贝努里试验中事件,A,发生的频率,p,为每次试验,用频率估计概率的误差,这个关系式可用来解决频率估计概率的计算问题:,中事件,A,发生的概率,由棣莫佛拉普拉斯定理,有,部数,解,设 表示某一时刻机器开动的台数,则,设电厂至少要供应 个单位的电能,则由题意,有,由棣莫弗-拉普拉斯定理,有,例2,某车间有同型号的机床200部,每部机器开动,概率保证不致因供电不足而影响生产?,少要供应该车间多少单位电能,才能以95%的,开动时每部机器要耗电能15个单位,问电厂最,的概率为0.7,假定各机床开关是相互独立的,查表得,应有,故至少须向该车间供应2261个单位的电能,才,能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.,解,设,是装运的第 箱的重量,看作是相互独立同分布的随机变量,而总重量,是独立同分布的随机变量之和.,例3,一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重,多少箱，才能保障不超载的概率大于0.997.,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装,差5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，,量是随机的，假设每箱的平均重50千克,标准,是所求得箱数,由条件可以把,由林德伯格-列维定理,由题意知,并且要求 满足,即 必须满足,即最多可以装98箱。,例4,对敌人的防御工事用炮火进行 100 次轰击,设每次轰击命中的炮弹数服从同一分布,其,数学期望为 2,均方差为 1.5.如果各次轰击,命中的炮弹数是相互独立的,求100 次轰击,(1)至少命中180发炮弹的概率;,(2)命中的炮弹数不到200发的概率.,解,设,X,k,表示第,k,次轰击命中的炮弹数,相互独立，,设,X,表示100次轰击命中的炮弹数,则,(1),(2),例5,售报员在报摊上卖报,已知每个过路人在,报摊上买报的概率为1/3.令,X,是出售了100份,报时过路人的数目，求,P,(280,X,320,).,解,令,X,i,为售出了第,i,1 份报纸后到售出第,i,份报纸时的过路人数,i,=1,2,100,(几何分布),相互独立,中心极限定理的意义,在实际问题中，若某随机变量可以看作是有相互独立的大量随机变量综合作用的结果，每一个因素在总的影响中的作用都很微小，则综合作用的结果服从正态分布.,