D33有理函数积分

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,第三节,基本积分法,:,换元积分法;,分部积分法,初等函数,求导,初等函数,积分,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,有理函数的积分,本节内容:,第,三,章,直接积分法;,一、有理函数的积分,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,相除,多项式+真分 式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,例1.,将下列真分式分解为部分分式:,解:,(1)用拼凑法,(2)比较系数法,原式=,四种典型部分分式的积分:,变分子为,再分项积分,例2.,求,解:,已知,例1(3),例1(2),例3.,求,解:,原式,思考:,如何求,提示:,变形方法同例3,并利用书 P363 公式20.,例4.,求,解:,说明:,将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,例5.,求,解:,原式,常规法,例6.,求,解:,原式,(见P363 公式21),注意本题技巧,本题用常规方法解很繁,按常规方法解,第一步 令,比较系数定,a,b,c,d.,得,第二步 化为部分分式.即令,比较系数定,A,B,C,D,.,第三步 分项积分.,此解法较繁!,二、可化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有理式,令,万能代换,(参考下页例7),t,的有理函数的积分,1.三角函数有理式的积分,则,例7.,求,解:,令,则,例8.,求,解:,说明:,通常求含,的积分时,往往更方便.,的有理式,用代换,例9.,求,解法 1,令,原式,例9.,求,解法 2,令,原式,2.简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,令,例10.,求,解:,令,则,原式,例11.,求,解:,为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的,最小公倍数 6,则有,原式,令,例12.,求,解:,令,则,原式,内容小结,1.,可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2.,特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法,简便计算.,简便,思考与练习,如何求下列积分更简便?,解:,1.,2.原式,备用题,1.,求不定积分,解：,令,则,故,分母次数较高,宜使用,倒代换.,