函数极值与导数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,函数极值与导数,知识回顾,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.,用“导数法”求单调区间的步骤:,注意：,函数,定义域,求,令,求单调区间,问题：如图表示高台跳水运动员的高度 随时间,变化的函数 的图象,单调递增,单调递减,归纳:函数 在点 处 ,在 的附近,当 时,函数h(t)单调递增，;,当 时,函数h(t)单调递减,。,探究,（3）在点 附近,的导数的符号有,什么规律?,（1）函数 在点 的函数值与这些点,附近的函数值有什么关系?,（2）函数 在点 的导数值是多少?,(图一),问题：,(图二),探究,(图一),(图二),极大值f(b),点,a,为函数y=f(x)的,极小值点,，f(,a,)叫做函数y=f(x)的,极小值,.,点,b,为函数y=f(x)的,极大值点,，f(,b,)叫做函数y=f(x)的,极大值,.,极小值点,、,极大值点,统称,极值点,，,极大值,和,极小值,统称为,极值,.,极小值f(a),思考：,极大值一定大于极小值吗？,（1）如图是函数 的图象,试找出函数,的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？,（2）如果把函数图象改为导函数,的图象?,随堂练习,答：,1、x,1,x,3,x,5,x,6,是函数y=f(x)的极值点，其中x,1,x,5,是函数y=f(x)的极大值点，x,3,x,6,函数y=f(x)的极小值点。,2、x,2,x,4,是函数y=f(x)的极值点,其中x,2,是函数y=f(x),的极大值点，x,4,是函数y=f(x)的极小值点。,下面分两种情况讨论:,（1）当,，即x2,或x-2时;,（2）当 ，即-2 x2时。,例4,：,求函数 的极值.,解:,当x变化时，的变化情况如下表：,当x=-2时,f(x)的极大值为,令,解得x=2,或x=-2.,当x=2时,f(x)的极小值为,探索:,x,=0是否为函数,f,(,x,)=,x,3,的极值点?,x,y,O,f,(,x,),x,3,若寻找可导,函数,极值点,可否只由,f,(,x,),=,0,求得即可,?,f,(,x,),=3,x,2,当,f,(,x,),=0时，,x,=0，而,x,=0,不是,该函数的极值点.,f,(,x,0,),=0,x,0,是可导函数,f,(,x,),的极值点,x,0,左右侧导数异号,x,0,是函数,f(x),的极值点,f,(x,0,),=0,注意：,f,/,(,x,0,)=0是函数取得极值的必要不充分条件,（2）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，,那么 是极小值,归纳：,求函数y=f(x)极值的方法是:,（1）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，,那么 是极大值；,解方程,，,当 时：,练习：,下列结论中正确的是（）。,A、导数为零的点一定是极值点。,B、如果在x,0,附近的左侧f,(x)0,右侧f,(x)0,那么 f(x,0,)是极大值。,C、如果在x,0,附近的左侧f,(x)0,那么f(x,0,)是极大值。,、极大值一定大于极小值。,B,0,x,y,(最好通过列表法),巩固练习,：,求函数 的极值,当 时,有极大值，并且极大值为,当 时,有极小值，并且极小值为,解:,令 ，得 ，或,下面分两种情况讨论：,（1）当 ，即 时；,（2）当 ，即 ，或 时。,当 变化时，的变化情况如下表：,思考：,已知函数 在 处取得极值。,（1）求函数 的解析式（2）求函数 的单调区间,解：,（1）,在 取得极值,即 解得,（2），由 得,的单调增区间为,由 得,的单调减区间为,函数 在 时有极值10，则,a，b,的值为（）,A、或,B、或,C、D、,以上都不对,C,，,解:由题设条件得：,解之得,注意：,f,/,(,x,0,)=0是函数取得极值的必要不充分条件,注意代入检验,随堂练习,课堂小结,一、方法:,(1)确定函数的定义域,(2)求导数f,(x),(3)求方程f,(x),=0的全部解,(4)检查f,(x)在f,(x),=0的根左.右两边值的符号,如果左正右负(或左负右正),那么f(x)在这个根取得极大值或极小值,二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极值，并能应用函数的极值解决函数的一些问题,作业：P,32,5 ,今天我们学习函数的极值,并利用导数求函数的极值,（2006年天津卷)函数,的定义域为开区间,导函数 在 内的图像如图所示，则函数,在开区间 内有（）个极小值点。,A,.1 B.2 C.3,D.,4,A,f,(,x,),0,f,(,x,),=0,注意：,数形结合以及原函数与导函数图像的区别,随堂练习,2.(,2006年,北京卷)已知函数,在点,处取得极大值5,其导函数 的图像(如图)过点（1,0）,（2,0）,求：,（1）的值；（2）,a,b,c,的值；,.,略解：,(1)由图像可知：,(2),注意：,数形结合以及函数与方程思想的应用,随堂练习,