初等变换与初等矩阵

*,第二章 矩阵,2.5,初等变换与初等矩阵,2.5,初等变换与初等矩阵,一、矩阵的初等变换,三、初等矩阵,四、等价,五、利用初等变换求逆矩阵,二、行阶梯形与标准形,一、矩阵的初等变换,所谓矩阵的初等变换来源于对线性方程组的,同解变换,。,前面几节主要介绍了矩阵与矩阵之间以及矩阵,与,(,实,),数,之间的,代数运算关系,。,本节则主要介绍矩阵内部元素与元素之间、行与行之间,以及列与列之间的,操作关系,。,下面三种变换称为矩阵的,初等行变换,:,(,记为,),(,记为,),一、矩阵的初等变换,(,记为,),(1),交换,(,或,对调,),两行；,(3),某行的,k,倍加到另一行上。,(2),将某行,k,倍 ；,矩阵的,行初等变换,与,列初等变换,统称为,初等变换,同样可定义,列初等变换,(,所用记号是把“,r,”,换成“,c,”),.,定义,“,”,连接，不可用“,=,”,连接。,注意,对矩阵进行初等变换时，所得矩阵和原矩阵之间用,例,利用初等变换“,化简,”矩阵,记为,二、行阶梯形与标准形,1.,行阶梯形,称矩阵,A,为,行,阶梯,形,，如果满足如下条件：,(1),若,A,有零行，则,零行,位于,最下方,。,(2),每个非零行的第一个非零元,(,即,非零首元,),的列号,定义,严格大于上一行的非零首元的列号,.,二、行阶梯形与标准形,1.,行阶梯形,而 不是阶梯形矩阵,.,下列矩阵都是阶梯形矩阵：,例如,二、行阶梯形与标准形,1.,行阶梯形,2.,行标准形,称矩阵,A,为,行标准,形,，如果满足如下条件：,(1),A,为行阶梯形；,(2),每个非零行的非零首元为,1,.,定义,(3),每个非零行的非零首元所在列的其余元素全为,0.,矩阵 为,行标准形,.,例如,二、行阶梯形与标准形,1.,行阶梯形,2.,标准行阶梯形,3.,标准形,称矩阵,A,为,标准形,如果,A,的左上角为单位阵,其余的,定义,元素全为,0,，,即,二、行阶梯形与标准形,1.,行阶梯形,2.,标准行阶梯形,3.,标准形,4.,结论,(1),对于任何矩阵，经过初等行变换总可以变为,行阶梯形,；,(2),进一步，经过初等行变换总可以变为,行标准形,；,(3),更进一步，经过初等变换总可以变成,标准形,.,下面从另一个角度来认识初等变换，,变为对矩阵的,运算,。,并把对矩阵的,操作,三、初等矩阵,引例,单位阵,交换两行,左,乘矩阵,矩阵被,交换两行,单位阵,交换两列,右,乘矩阵,矩阵被,交换两列,单位矩阵,I,经过,一次,初等变换得到的矩阵称为,初等矩阵,.,三种初等变换对应着三类初等矩阵,三、初等矩阵,定义,(1),交换,单位矩阵,的两行,(,列,),；,(3),将,单位矩阵,某行,(,列,),的,k,倍加到另一行,(,列,),上。,(2),将,单位矩阵,某行,(,列,),k,倍 ；,三、初等矩阵,(1),交换单位矩阵的,两行,(,列,),；,第,i,列,第,j,列,第,i,行,第,j,行,1.,三类初等矩阵,三、初等矩阵,(1),交换单位矩阵的,两行,(,列,),；,1.,三类初等矩阵,(2),将单位矩阵某行,(,列,),k,倍 ；,第,i,列,第,i,行,三、初等矩阵,(1),交换单位矩阵的,两行,(,列,),；,1.,三类初等矩阵,(2),将单位矩阵某行,(,列,),k,倍 ；,(3),将单位矩阵某行,(,列,),的,k,倍加到另一行,(,列,),上。,第,j,行,第,i,行,第,i,列,第,j,列,(1),对,A,施行一次初等,行,变换，,三、初等矩阵,1.,三类初等矩阵,2.,初等矩阵的作用,定理,设,A,是一个 阶矩阵，,(2),对,A,施行一次初等,列,变换，,证明,(,略,),注,孤立地看一个初等阵，它既可以是一个,行,初等阵,又可以,是一个,列,初等阵。,因此关键是要看它乘在矩阵的哪一边。,相当于在,A,的,左,边乘以,相应的,m,阶,行,初等矩阵；,相当于在,A,的,右,边乘以,相应的,n,阶,列,初等矩阵。,三、初等矩阵,1.,三类初等矩阵,2.,初等矩阵的作用,结论,(1),任何矩阵,左,乘一系列,行,初等阵总可以变为,行阶梯形,;,(2),进一步,左,乘一系列,行,初等总可以变为,行标准形,；,(3),更进一步,右,乘一系列,列,初等总可以变成,标准形,.,这里所说的“变为”不再是“,”,而是“,=,”,。,注意,？,I,，,三、初等矩阵,1.,三类初等矩阵,2.,初等矩阵的作用,3.,初等矩阵的逆矩阵,慕容复,斗转星移术,以彼之道,还施彼身,？,I,，,？,I,，,对列初等阵有类似的结果。,可见，初等矩阵都可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵。,则称矩阵,B,为,A,的,等价标准,形,.,四、等价,定义,(1),如果矩阵,A,经有限次初等变换变成矩阵,B,，,记作,性质,(1),反身性，,(2),对称性，,(3),传递性，,即,若,则,则,若,与,B,等价,，,(2),如果矩阵,A,经有限次初等变换变成矩阵,1.,等价的定义与性质,等价,相似,合同,则称,A,四、等价,1.,等价的定义与性质,2.,关于可逆方阵的几个结论,定理,(3),仅用初等行变换就可以将,A,化为单位矩阵,.,(2),A,一定可以表示成一些初等矩阵的乘积；,(1),A,一定等价于单位矩阵；,设,A,为,n,阶可逆方阵，则,证明,即,A,一定可以表示成一些初等矩阵的乘积,.,(1),一定存在初等矩阵 和 使得,由,A,可逆且,初等矩阵可逆,有,即得,(2),由上式可得,即,仅用初等行变换就可以将,A,化为单位矩阵,.,(3),由 可得,例,将矩阵 表示成有限个初等初阵的乘积。,解,其中,四、等价,1.,等价的定义与性质,2.,关于可逆方阵的几个结论,3.,对于一般矩阵的几个结论,定理,(1),设,A,B,为,m,n,矩阵，则,A,和,B,等价的,充要条件,是,存在,m,阶可逆矩阵,P,及,n,阶可逆矩阵,Q,，,PAQ,=,B,.,(2),对于矩阵,A,m,n,一定存在可逆矩阵,(,可作为矩阵等价的另一种定义,),使得,使得,五、利用初等变换求逆矩阵,设,A,为可逆矩阵，,则仅用初等行变换就可以将,A,化为,即,1.,原理,即存在初等矩阵 ，使得,单位矩阵,.,求解系数阵为,A,右端项分别为,的,n,个线性方程组,思考,它与,有何联系？,五、利用初等变换求逆矩阵,1.,原理,2.,方法,对矩阵 施行一系列,初等行变换,，,当把,A,变成,I,时，原来的,I,就变成了,注,利用初等行变换求逆矩阵时，不必先判断矩阵是否可逆；,在作变换的过程中，若出现零行，,则,A,不可逆。,可否利用初等列变换求逆矩阵,？,思考,提示,利用原理 并考虑矩阵,解,例,设矩阵 求,解,方法一,(,仅用行变换,),上,(,下,),三角矩阵,？,例,设矩阵 求,解,方法二,(,仅用列变换,),