复变函数2-3初等函数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,回顾,导数、微分、解析函数,基本概念：,基本关系：,可导与连续、,可导与可微、,可导与解析,重要定理：,函数在一点可导与在区域内解析的充要条件,1,P,34,T32,证明：,2,第三节 初等函数,一、指数函数,二、对数函数,三、乘幂,a,b,与幂函数,四、三角函数和双曲函数,五、反三角函数和反双曲函数,重点把握以下几点,1,、初等函数定义,2,、初等函数的性质,3,、与实变函数的区别,3,一、指数函数,实变：,1.指数函数的定义:,处处可导,4,指数函数,(exponential,记作,:,function),注：,5,例1,解,重要性质：,6,例2,求出下列复数的辐角主值,:,解,7,二、对数函数,1.定义,令,即,所以,对数函数是一个多值函数呦,!,8,其余各值为,特殊地,9,例,解,注意:,在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.,（1）,（2）,或者,10,例,解,11,2.对数函数的性质,（,3,）在除去负实轴（包括原点）的复平面内，主值支和其他各分支处处连续，处处可导且,但是,12,三、乘幂 与幂函数,1.乘幂的定义,（实数的幂,）,注意:,故,一般是无穷多值的,13,14,2,、幂函数定义,两种特殊情况的讨论：,单值解析函数,15,例,5,解,16,3.,幂函数的解析性,它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的。,它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,17,四、三角函数和双曲函数,1.三角函数的定义,将两式相加与相减,得,有关性质：,欧拉公式的推广,(1),(2),(3),正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数,.,(4),18,有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式,(5),19,2.双曲函数的定义,(,偶函数,),(,奇函数,),(,周期,),(,奇函数,),解析函数,易得,:,20,五、反三角函数和反双曲函数,1.反三角函数的定义,两端取对数得,21,六、小结,复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,又有一些与后者不同的特性.如:,1.指数函数具有周期性,2.负数无对数的结论不再成立,3.三角正弦与余弦不再具有有界性,4.双曲正弦与余弦都是周期函数,22,作业,(2)12,题（3）,15题,18题,23题,（,1,）认真阅读第二章课后小结,下次课：第三章一、二节,23,作业,(2)12,题（3）,15题,18题,23题,（,1,）认真阅读第二章课后小结,下次课：第三章一、二节,24,作业,(2)12,题（3）,15题,18题,23题,（,1,）认真阅读第二章课后小结,下次课：第三章一、二节,25,作业点评：,P31T1,辐角与辐角主值的区别。,P32T14,错解：,P33T23,，,24,直线,代入直线方程可得,26,