辗转相除法与更相减损术

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,*,*,*,边城高级中学,张秀洲,1.3.1 辗转相除法与更相减损术,1,通过阅读中国古代中的更相减损术算法案例，体会中国数学对世界数学发展的贡献；,2,知道辗转相除法和更相减损术，能用辗转相除法和更相减损术求两个正整数的最大公约数,自学教材,P34-P37,解决下列问题,一、能用辗转相除法和更相减损术求两个正整数的最大公约数,.,二、,学海导航,P25-P26 “,双层练习”“范例剖析”,三、教材,P45,第,1,题,例：求下面两个正整数的最大公约数：,（,1,）求,25,和,35,的最大公约数,（,2,）求,49,和,63,的最大公约数,25,（,1,）,5,5,35,7,49,（,2,）,7,7,63,9,所以，,25,和,35,的最大公约数为,5,所以，,49,和,63,的最大公约数为,7,思考：除了用这种方法外还有没有其它方法？,例：如何算出,8251,和,6105,的最大公约数？,一、辗转相除法（欧几里得算法）,1,、定义：,所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽,则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。,2,、步骤,:,（以求,8251,和,6105,的最大公约数的过程为例）,第一步,用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数,8251=61051+2146,结论：,8251,和,6105,的公约数就是,6105,和,2146,的公约数，求,8251,和,6105,的最大公约数，只要求出,6105,和,2146,的公约数就可以了。,第二步,对,6105,和,2146,重复第一步的做法,6105=21462+1813,同理,6105,和,2146,的最大公约数也是,2146,和,1813,的最大公约数。,完整的过程,8251=61051+2146,6105=21462+1813,2146=18131+333,1813=3335+148,333=1482+37,148=374+0,例,:,用辗转相除法求,225,和,135,的最大公约数,225=1351+90,135=901+45,90=452,显然,37,是,148,和,37,的最大公约数，也就是,8251,和,6105,的最大公约数,显然,45,是,90,和,45,的最大公约数，也就是,225,和,135,的最大公约数,思考,1,：从上面的两个例子中可以看出计算的规律是什么？,S1,：用大数除以小数,S2,：除数变成被除数，余数变成除数,S3,：重复,S1,，直到余数为,0,辗转相除法是一个反复执行直到余数等于,0,才停止的步骤，这实际上是一个循环结构。,8251=61051+2146,6105=21462+1813,2146=18131+333,1813=3335+148,333=1482+37,148=374+0,m,=,n,q,r,用程序框图表示出右边的过程,r,=,m,MOD,n,m,=,n,n,=,r,r,=0?,是,否,思考：,你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？,(1),、算法步骤：,第一步：输入两个正整数,m,n,(,m,n,).,第二步：计算,m,除以,n,所得的余数,r,.,第三步：,m,=,n,n,=,r,.,第四步：若,r,0,则,m,n,的最大公约数等于,m,；,否则转到第二步,.,第五步：输出最大公约数,m,.,开始,输入,m,，,n,求,m,除以,n,的余数,r,m,=,n,n,=,r,r,=0,？,是,输出,m,结束,否,(2),、程序框图：,开始,输入,m,，,n,求,m,除以,n,的余数,r,m,=,n,n,=,r,r,=0,？,是,输出,m,结束,否,INPUT,m,，,n,DO,r,=,m,MOD,n,m,=,n,n,=,r,LOOP UNTIL,r,=0,PRINT,m,END,(3),、程序：,思考,:,如果用当型循环结构构造算法，则用辗转相除法求两个正整数,m,，,n,的最大公约数的程序框图和程序分别如何表示？,开始,输入,m,，,n,求,m,除以,n,的余数,r,m,=,n,n,0,？,否,输出,m,结束,是,n,=,r,INPUT,m,，,n,WHILE,n,0,r,=,m,MOD,n,m,=,n,n,=,r,WEND,PRINT,m,END,二、更相减损术,可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。,第一步：,任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用,2,约简；若不是则执行第二步。,第二步：,以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。,（,1,）、,九章算术,中的更相减损术：,1,、背景介绍：,（,2,）、现代数学中的更相减损术：,2,、定义：,所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。,例,:,用更相减损术求,98,与,63,的最大公约数,.,解：由于,63,不是偶数，把,98,和,63,以大数减小数，并辗转相减,98,63,3563,35,2835,28,728,7,21,21,7,21,14,7,7,所以，,98,和,63,的最大公约数等于,7,3,、方法：,(1),、算法步骤,第一步：输入两个正整数,a,b,(,a,b,);,第二步：若,a,不等于,b,则执行第三步；否则转到第五步；,第三步：把,a,-,b,的差赋予,r,;,第四步：如果,b,r,那么把,b,赋给,a,把,r,赋给,b,;,否则把,r,赋给,a,执行第二步；,第五步：输出最大公约数,b,.,思考：你能根据更相减损术设计程序，求两个正整数的最大公约数吗？,(2),、程序框图,开始,输入,m,，,n,n,k,？,m,=,n,是,输出,m,结束,m,n,？,k,=,m,-,n,是,否,n,=,k,m,=,k,否,(3),、程序,开始,输入,m,，,n,n,k,？,m,=,n,是,输出,m,结束,m,n,？,k,=,m,-,n,是,否,n,=,k,m,=,k,否,INPUT,m,，,n,WHILE,m,n,k,=,m,-,n,IF,n,k,THEN,m,=,n,n,=k,ELSE,m,=,k,END IF,WEND,PRINT,m,END,【,例,1】,分别用辗转相除法和更相减损术求,168,与,93,的最大公约数,.,辗转相除法：,168=93,1+75,，,93=75,1+18,，,75=18,4+3,，,18=3,6.,更相减损术,:,168-93=75,，,93-75=18,，,75-18=57,，,57-18=39,，,39-18=21,，,21-18=3,，,18-3=15,，,15-3=12,，,12-3=9,，,9-3=6,，,6-3=3.,因为,325=1302+65,，,130=652,，,所以,325,与,130,的最大公约数是,65.,因为,270=654+10,，,65=106+5,，,10=52,，,所以,65,与,270,最大公约数是,5.,故,325,，,130,，,270,三个数的最大公约数是,5.,【,例,2】,求,325,，,130,，,270,三个数的最大公约数,.,三、教材,P45,第,1,题,提炼精华,总结收获，畅谈体会,对自己说，你有什么收获？,对同学说，你有什么提示？,对老师说，你有什么疑惑？,比较辗转相除法与更相减损术的区别,（,1,）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。,（,2,）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为,0,则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。,课时训练 基础达标,【,预习,】,课本,P37P39,秦九韶算法,必做题：,学海导航,P26-P27 A,组所有题目,必做题：,学海导航,P27 B,组,2024年10月8日,1,次,