定积分的概念及性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章,积分学,不定积分,定积分,定积分,第一节,一、,定积分问题举例,二、 定积分的定义,三、 定积分的性质,定积分的概念及性质,第,五,章,教学目的与要求,：,理解定积分的概念,了解定积分的几何意义,重点：,定积分的概念,一、定积分问题举例,1.,曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成,求其面积,A,.,矩形面积,梯形面积,a,b,x,y,o,a,b,x,y,o,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,曲边梯形如图所示，,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,解决步骤小结,:,1),分割,(,大化小,),：,在区间,a,b,中,任意,插入,n ,1,个分点,用直线,将曲边梯形分成,n,个小曲边梯形,;,2),以直代曲,：,(,常代变,),在第,i,个窄曲边梯形上,任取,作以,为底,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,3),求和,(,近似和,),：,.,4),取极限,.,令,则曲边梯形面积,元素法,1,分割,(,化整为零,),2,以直代曲,(,以常代变,),3,求和,(,积零为整,),y,x,o,y,=,f,(,x,),a,b,.,.,分法越细，越接近精确值,曲边梯形的面积,f,(,i,),.,元素法,4,取极限,y,x,o,y,=,f,(,x,),令分法无限变细,.,a,b,.,.,.,分法越细，越接近精确值,1,分割,(,化整为零,),2,以直代曲,(,以常代变,),3,求和,(,积零为整,),曲边梯形的面积,.,f,(,i,),元素法,4,取极限,y,x,o,y,=,f,(,x,),令分法无限变细,.,.,分法越细，越接近精确值,1,分割,(,化整为零,),2,以直代曲,(,以常代变,),3,求和,(,积零为整,),曲边梯形的面积,f,(,i,),S,a,b,.,.,.,S,=,.,.,2.,变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,且,求在运动时间内物体所经过的路程,s,.,已知速度,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,解决步骤,:,1),分割,(,大化小,).,将它分成,在每个小段上物体经,2),以直代曲,(,常代变,).,得,n,个小段,过的路程为,3),求和,(,近似和,).,4),取极限,.,上述两个问题的,共性,:,解决问题的方法步骤相同,:,“,分割,(,大化小,) ,以直代曲,(,常代变,) ,求和,(,近似和,) ,取极限,”,所求量极限结构式相同,:,特殊乘积和式的极限,二、定积分的定义,1.,定义,被积函数,被积表达式,积分变量,记为,积分上限,积分下限,积分和,注意：,定理,1,定理,2,2.,可积的充分条件,:,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,3,、定积分的几何意义,各部分面积的代数和,几何意义：,例,1,利用定义计算定积分,解,注,利用,得,两端分别相加,得,即,例,2,利用定义计算定积分,解,例,3.,用定积分表示下列极限,:,解,:,说明,:,根据定积,分定义可得如下近似计算方法,:,将,a,b,分成,n,等份,:,(,左矩形公式,),(,右矩形公式,),(,梯形公式,),为了提高精度,还可建立更好的求积公式,例如辛普森,公式,复化求积公式等,并有现成的数学软件可供调用,.,证明,利用对数的性质得,极限运算与对数运算换序得,故,对定积分的,补充规定,:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,1,、基本内容,三、定积分的性质,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质,1,证,性质,2,补充,：不论 的相对位置如何,上式总成立,.,例若,性质,3,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,证,性质,4,性质,5,解,令,于是,性质,5,的推论：,证,（,1,）,证,说明：,可积性是显然的,.,性质,5,的推论：,（,2,）,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质,6,解,解,例,4.,试证,:,证,:,设,则在,上,有,即,故,即,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质,7,（定积分中值定理）,积分中值公式,使,即,积分中值公式的几何解释：,说明,:,可把,故它是有限个数的平均值概念的推广,.,积分中值定理对,因,例,5.,计算从,0,秒到,T,秒这段时间内自由落体的平均,速度,.,解,:,已知自由落体速度为,故所求平均速度,解,由积分中值定理知有,使,五、小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,分割,化整为零,求和,积零为整,取极限,精确值,定积分,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,3,定积分的性质,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,4,典型问题,（）估计积分值；,（）不计算定积分比较积分大小,思考题,1,将和式极限：,表示成定积分,.,思考题,1,解答,原式,思考题,2,思考题,2,解答,例,3.,P233,题,3,4.,P233,题,8 (2) , (4),题,8(4),解,:,设,则,即,练 习 题,1,练习题,1,答案,练 习 题,2,练习题,2,答案,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,