随机试验与随机事

单击此处编辑母版标题样式,*,例,2.,E,2,:,掷一枚骰子观察出现的点数：,A,i,=,“,出现,i,点,”,i=1,2,36,例,1.,E,1,:,抛一枚硬币观察正面，反面朝上情况,:,A=“,正面朝上,”,B,=“,反面朝上,”,，,二者必居其一。,一、随机试验,1-1,随机试验和随机事件,特征,:,1.,试验在相同条件下可以重复进行，,2.,事先能明确所有可能的结果，,3.,进行一次试验不能确定哪一个结果出现。,具有上述三特征的试验称为随机试验,用,E,1,E,2,表示,。,例,3.,E,3,:,掷,两,枚骰子观察出现的点数,（,i ,j,）,=,“,第一枚,i,点，第二枚,j,点,”,，,i,j=1 ,2,，,，,6,。,二、样本空间和,事件,1.,随机试验,E,的所有可能的结果全体称为,E,的,样本空间,，用,表示。,例,3.E,3,中,=(i,j)|i,j=1,2,6 ,例,2.E,2,中,=A,1,A,2,A,6,例,1.E,1,中,=A,B ,例,4.,记录电话交换台一小时收到的呼叫次数，,其样本空间,=0,1,2,例,5,.,分析某矿区一批矿石含铜量的百分数,.,表示含铜量,%,=|0 100 .,课堂练习一：,写出下列试验的样本空间,1.,将一枚硬币抛两次，观察正反面出现情况,.,2.,一射手进行射击,“,+”,表示击中，,“,”,表示不击中，连续 射击，,直到击中为止，观察射击情况,.,解,样本空间,=,正正，正反，反正，反反,解,样本空间,=,+,，,+,，,+,，,+,，,2.,事件,样本空间的子集称为,随机事件,，简称,事件,，用,A,，,B,，,C,表示。,考察例,2,：,事件,B=,“,出现偶数点,”,=A,2,，,A,4,，,A,6,，,事件,C=,“,出现小于,3,点,”,=A,1,A,2,必然事件,=,“,出现点数不大于,6,点,”,，,不可能事件,=,“,出现点数大于,6,点,”,。,三事件的关系与运算,1.,事件的关系,设,A,B,C,A,i,（,i=1,2,）,为事件,(1).,包含关系：,A,发生则,B,必然发生，称,B,包含,A,，,记为,A,B.,例,1,.,掷一枚骰子，,A,i,=“,出,i,点,”,(i=1,2,6),B=“,出现偶数点”,则,.,A,2,B,B,A,A,B,(2).,相等,:,若,A,B,，,且,B A,，,则称,A=B,上例,.,如,A=“,出现,2,4,6,点之一,”，,则,A=B,例,2.,在电炉上安装了,4,个温控器,其显示温度的误差是随机的。在使用过程中,只要有两个温控器的温度不低于临界温度,t,0,电炉就断电,以,E,表示事件“电炉断电”,而,T,（,1,）,T,（,2,）,T,（,3,）,T,（,4,）,为,4,个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件,E,等于,(A)T,(1),t,0,(B)T,(2),t,0,(C)T,(3),t,0,(D)T,(4),t,0,.,解,解,事件,E,表示,“,电炉断电,”,，而只要有两个温控器的温度不低于临界温度,t,0,电炉就断电，即事件,E,表示有两个温控器的温度大于或等于,t,0,，,又,T,（,1,）,T,（,2,）,T,（,3,）,T,（,4,）,。,事件,E,发生必然事件,T,(3),t,0,发生；反之 事件,T,(3),t,0,发生,T,（,4,）,T,(3),t,0,，,则必然事件,E,发生,.,所以,事件,E,与事件,T,(3),t,0,相等,.,故选,（,C,）,.,题目：,在电炉上安装了,4,个温控器,其显示温度的误差是随机,的。在使用过程中,只要有两个温控器的温度不低于临界温度,t,0,电炉就断电,以,E,表示事件“电炉断电”,而,T,（,1,）,T,（,2,）,T,（,3,）,T,（,4,）,为,4,个温控器显示的按递增顺序排,列的温度值，则事件,E,等于,(A)T,(1),t,0,(B)T,(2),t,0,(C)T,(3),t,0,(D)T,(4),t,0,.,2,事件的运算,(,1).,事件的和（,并）,：,事件,A,与,B,至少一个发生的事件称为,A,与,B,的和,记为,A+B,或,A,B,。,A,B,A+B,如例,1,掷一枚骰子，,A,i,=“,出,i,点,”,(i=1,2,6),B=“,出现偶数点”,=,A,2,A,4,A,6,C=“,点数不超过,2,点”,=A,1,A,2,则,B+C=A,1,A,2,A,4,A,6,可推广到,n,个或无穷可列个事件,A,1,+A,2,+A,n,表,示,A,1,A,2,，,A,n,至少一个发生。,A,1,+A,2,+A,n,+,，,表示,A,1,A,2,，,A,n,至少一个发生,.,说明,A,B,AB,如例,1,掷一枚骰子，,B=“,出现偶数点”,，,C=“,点数不超过,2,点”,=A,1,A,2,，,则,BC=A,2,事件的积也可以推广到,n,个或无穷可列个事件。,A,1,A,2,A,n,表,示,A,1,A,2,A,n,同时发生。,A,1,A,2,A,n,，,表,示,A,1,A,2,A,n,同时发生。,(2).,事件的积,(,交,),:,A,与,B,同时发生的事件 称为,A,与,B,的积或 交,记为,AB,或,(3).,事件的差,：,A,发生而,B,不发生的事件称为,A,与,B,的差，记 为,A,B,。,A,如,例,1,，,掷一枚骰子，,A,i,=“,出现,i,点,”,(i=1,2,6),B=“,出现偶数点”,=,A,2,A,4,A,6,则,，,BA,2,=A,4,A,6,A,2,B=,B,A-B,(4).,互不相容事件：,若,A,与,B,不能同时发生，即,AB=,称,A,与,B,互不相容,.,B,A,如例,1,，,掷一枚骰子，,A,i,=“,出,i,点,”,(i=1,2,6),则,A,1,，,A,2,A,6,两两,互不相容,；,B=“,出现偶数点”,D=,“,出现奇数点”,则,B,，,D,两两互不相容,；,(5).,对立事件：,A,不发生，称为,A,的对立事记为,A,如例,1,，,掷一枚骰子，,B=“,出现偶数点”,=,“,出现奇数点”,2.,判断下列命题是否正确,？,（,1),A,与 必是互不相容,（）；,（,2,）,A,与,B,互不,相容，则,A,必是,B,的对立事件,（）,课内,练习一：,1.,填空,A+=,，,A+=,，,A=,，,A=,，,A,=,，,-A=,，,A,=,，,A,A,A,A,例,3,.,在某系学生中任选一名学生,设,A,表示被选出的是男生,B,表示该生是三年级学生,C,表示是运动员,.,叙述事件 的意义,.,(2),在什么条件下有恒等式,ABC=C,.,(3),什么时候关系式 正确,.,(4),什么时候关系式,.,的意义：任选一名学生是三年级男生非运动员，,当运动员是三年级男生时，,ABC=C,，,当运动员是三年级学生时,当女生是三年级学生，三年级学生都是女生，,且运动员是三年级学生时，,4 5,例,4,.,如下图电路，,A,i,=“i,开关接通”,，,i=1,，,2,，,3,，,4,，,5,B=“,灯亮”，用,A,i,表示灯亮。,3,1 2,解,B,=,A,1,A,2,+A,1,A,3,A,5,+A,4,A,5,+A,4,A,3,A,2,解,B,.,例,4,.,A,表示,“,五个产品全是合格品,”，,B,表示“五个产品恰有一个废品,”，,C,表示“五个产品至少有一个废品”，则下述结论正确的是,(),课内练习二：,A,，,B,，,C,表示三事件,将下列事件用,A,B,C,表示,:,（,1,）,A,出现，,B,，,C,不出现；,（,2,）,三事件至少一个出现；,（,3,）,三事件至少两个出现；,（,4,）,三事件均不出现；,（,5,）,三事件恰一个出现；,（,6,）,三事件至多一个出现。,3,、集合与事件,从以上讨论看到，概率论中事件之间的关系与运算与集合论中集合之间的关系与运算是一致的，为了便于对照，总结如下：,记号,概 率 论,集 合 论,样本空间，必然事件,全集,空集,不可能事件,样本点，基本事件,元素,A,事件,子集,AB,A,的对立事件,A,的余集,A,发生，,B,必然发生,A,是,B,的子集,A=B,A,事件与,B,事件相等,A,与,B,相等,AB,A,与,B,至少一个发生,A,与,B,的并集,A,与,B,同时发生,A,与,B,的交集,A-B,A,发生而,B,不发生,A,与,B,的差集,AB=,事件,A,和事件,B,互不相容,A,与,B,没有共同元素,对偶原理,4.,事件的运算规律,交换律,A+B=B+A,，,AB=BA,，,结合律,A+(B+C)=(A+B)+C,，,A(BC)=(AB)C,，,分配律,A(BC)=(AB)(AC),或,A(B+C)=AB+AC,A(B C)=(A B)(A C),或,A+(BC)=(A+B)(A+C),例,5.,以,A,表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为,(A),“,甲种产品滞销，乙种产品畅销”,.,(B,）,“,甲乙两种种产品均畅销”,.,(C),“,甲种产品滞销”,.,(D),“,甲种产品滞销或乙种产品畅销”。,解,题目：,以,A,表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为,(),(A),“,甲种产品滞销，乙种产品畅销”,.,(B,）,“,甲乙两种种产品均畅销”,.,(C),“,甲种产品滞销”,.,(D),“,甲种产品滞销或乙种产品畅销”。,设,B=“,甲种产品畅销,”，,C=“,乙种产品滞销,”,则，,A=BC,，,即为,“,甲种产品滞销或乙种产品畅销”。选,(D),课内练习三：单项选择题,1.,如果事件,A,，,B,有,B,A,，,则下述结论正确的是,(),(A),A,与,B,同时发生,.(B)A,发生，,B,必发生,.,(C,）,A,不发生,B,必不发生,.(D)B,不发生,A,必不发生,.,解,因为,B,A,，,则,即,A,不发生,B,必不发生,.,所以选,（,C,）,2.,对于任意二事件,解,所以选,（,D,）,A,B,(,本节结束,),