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,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,教材研读,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,考点突破,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,第二节排列与组合,1,总纲目录,教材研读,1.排列与排列数,考点突破,2.组合与组合数,3.排列数、组合数的公式及性质,考点二组合问题,考点一排列问题,考点三排列与组合的综合应用,2,教材研读,1.排列与排列数,(1)排列:从,n,个不同元素中取出,m,(,m,n,)个元素,按照一定的顺序排,成一列,叫做从n个不同元素中取出,m,个元素的一个排列.,(2)排列数:从,n,个不同元素中取出,m,(,m,n,)个元素的,所有不同排列,的个数,叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的排列数,记作,.,3,2.组合与组合数,(1)组合:从,n,个不同元素中取出,m,(,m,n,)个元素合成一组,叫做从,n,个不,同元素中取出,m,个元素的一个,组合,.,(2)组合数:从,n,个不同元素中取出,m,(,m,n,)个元素的所有不同组合的个,数,叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的,组合数,记作,.,4,3.排列数、组合数的公式及性质,5,答案,C从6名男医生中选出2名有,种选法,从5名女医生中选出1名,有,种选法,由分步乘法计数原理得不同的选法共有,=75种.故,选C.,1.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个,医疗小组.则不同的选法共有,( ),A.60种B.70种C.75种D.150种,C,B,6,2.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,且放入,每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有,(,),A.10种B.20种C.36种D.52种,答案,A分情况讨论:1号盒子里放1个球,其余3个放入2号盒子,有,=4种方法;1号盒子里放2个球,其余2个放入2号盒子,有,=6种方法.,则不同的放球方法有10种,故选A.,A,B,7,3.(2017北京房山一模,4)某中学语文老师从红楼梦平凡的世界,红岩老人与海4本名著中选出3本,分给3个同学去读,其中红,楼梦必选,则不同的分配方法共有,( ),A.6种B.12种C.18种D.24种,答案,C先选取,红楼梦必选,有,=3种方法;再分配,有,=6,种方法,故共有3,6=18种方法,故选C.,C,B,8,4.(2017北京石景山一模,13)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同,的班,每个班至少分到一名学生,则不同的分法有,种.(用数字作,答),答案,36,解析,由题意可知,分组方案为两名学生,一名学生,一名学生,故不同的,分法总数是,=36种.,36,B,9,答案,2,2,5.已知,-,=,则,m,=,.,解析,由已知得,m,的取值范围为,m,|0,m,5,m,Z,-,=,整理可得,m,2,-23,m,+42=0,解得,m,=21(舍去)或,m,=2.,B,10,6.若甲、乙两人从6门课程中各选修3门,则甲、乙所选的课程中恰有2,门相同的选法有,种(用数字作答).,答案,180,解析,先从6门中选2门,再从剩下的4门中选2门分给甲、乙,则甲、乙,所选的课程中恰有2门相同,故有,=180(种)情况.,180,B,11,考点一排列问题,典例1,(1)社区主任要为小红等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,小红必须与2位老人都相邻,且两位老人不排在两端,则不,同的排法种数是,;(用数字作答),(2)(2014北京,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且,产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有,种;,(3)(2017北京海淀零模,13)小明、小刚、小红等5个人排成一排照相合,影,若小明与小刚相邻,且小明与小红不相邻,则不同的排法有,种.,考点突破,12,答案,(1)24(2)36(3)36,解析,(1)首先将除小红外的3名志愿者排列,有,种排法,然后将小红和,两位老人看作一个整体插空,有,种排法,最后将两位老人排列,有,种,排法,由分步乘法计数原理得共有,=24种排法.,(2)记其余两件产品为,D,、,E,A,、,B,相邻视为一个元素,先与,D,、,E,排列,有,种方法;再将,C,插入,仅有3个空位可选,共有,=2,6,3=36种不,同的摆法.,(3)根据题意,分两种情况讨论:,小刚与小红不相邻,将除小明、小刚、小红之外的2人全排列,有,种,排法,排好后有3个空位,将小明与小刚看成一个整体,考虑其顺序,有,种情况,在3个空位中,任选2个,安排这个整体与小红,有,种排法,13,故有,=24种排法;,小刚与小红相邻,则三人中小刚在中间,小明、小红在两边,有,种排,法,将三人看成一个整体,将这个整体与其余2人进行全排列,有,种排,法,故有,=12种排法.,所以共有24+12=36种排法.,14,方法技巧,1.求解有限制条件排列问题的主要方法,选定一个适当的分类标准,将要完成的事件分成几个类型,分别计算每个类型中的排列数,再由分类加法计数原理得出总数,选定一个适当的标准,将事件分成几个步骤来完成,分别计算出各步骤的排列数,再由分步乘法计数原理得出总数,捆绑法,相邻问题捆绑处理,即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列,同时注意捆绑元素的内部排列,插空法,不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列后的空中,除法,对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以已定元素的全排列,间接法,对于分类过多的问题,利用正难则反,等价转化的方法,15,2.解决有限制条件排列问题的策略,(1)根据特殊元素(位置)优先安排进行分步,即先安排特殊元素或特殊位,置.,(2)根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类.,16,1-1(2018北京东城期中,13)将A、B、C、D、E、F六个字母排成一,排,且A、B均在C的同侧,则不同的排法共有,种(用数字作答).,答案,480,480,解析,按,C,的位置分类,当,C,在左边第1个位置时,有,=120种排法,当,C,在左边第2个位置时,A,和,B,有,C,右边的4个位置可选,有,=72种排法,当,C,在左边第3个位置时,有,+,=48种排法,共有120+72+48=240,种排法,故不同的排法共有240,2=480种.,B,17,典例2,某课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各,有一名队长.现从中选5人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法?,(1)只有一名女生当选;,(2)两队长当选;,(3)至少有一名队长当选;,(4)至多有两名女生当选.,考点二组合问题,18,解析,(1)只有一名女生当选等价于有一名女生和四名男生当选.故共,有,=350种.,(2)两队长当选,共有,=165种.,(3)至少有一名队长当选含有两类:只有一名队长当选,有两名队长当选.,故共有,+,=825种.(或采用排除法:,-,=825(种),(4)至多有两名女生当选含有三类:有两名女生当选,只有一名女生当选,没有女生当选.故选法共有,+,+,=966种.,19,方法技巧,组合问题的常见类型及处理方法,(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含有”,则先将这些,元素取出,再由其他元素补足;“不含有”,则先将这些元素剔除,再从剩,下的元素中选取.,(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分,重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直,接法和间接法都可以求解,用直接法分类复杂时,常考虑用间接法处理.,20,2-1(2017北京海淀一模,7)甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排,甲和乙,都排在丙的同一侧,排法种数为,(),A.12B.40C.60D.80,D,答案,D解法一:五人任意排成一排有,=120种方法.甲和乙都排在,丙的同一侧的方法占其中的,从而有80种排法.,解法二:先排丁、戊,有,种排法;再确定甲、乙在丙的哪一侧,有,种排,法;最后排甲、乙、丙,有,种排法,共有,=80种排法.故选D.,B,21,考点三排列与组合的综合应用,典例3(1)将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友,每位小朋友至,少分到一个篮球,且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友,则不同,的分法种数为,(),A.15B.20,C.30D.42,(2)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复,数字的四位数的个数为,(),A.300B.216C.180D.162,22,答案,(1)C(2)C,解析,(1)四个篮球中两个分到一组有,种分法,三个篮球进行全排列,有,种分法,标号1,2的两个篮球分给同一个小朋友,有,种分法,不同,的分法种数为,-,=30.故选C.,(2)分两类:第1类,不取0,即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数,组成,没有重复数字的四位数,根据分步乘法计数原理可知,共有,=72个,没有重复数字的四位数;第2类,取0,此时2和4只能取一个,再取两个奇数,组成没有重复数字的四位数,根据分步乘法计数原理可知,共有,(,-,)=108个没有重复数字的四位数.,根据分类加法计数原理可知,满足题意的四位数共有72+108=180(个).,23,方法技巧,(1)解排列、组合综合题目,一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行,分组,再对取出的元素或分好的组进行排列.,(2)解决不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时,通常有三,种类型:不均匀分组;均匀分组;部分均匀分组.注意无序均匀(或,部分均匀)分组要除以均匀组数的阶乘数,有序分组要在无序分组的基,础上乘分组数的阶乘数.,24,3-1甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.要求老,师必须站在正中间,甲同学不与老师相邻,则不同站法的种数为,.,答案,12,12,解析,老师必须站在正中间,则老师的位置是指定的;甲同学不与老师,相邻,则甲同学可以站两端,故不同站法的种数为,=12.,B,25,
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