第十二章-求变形的能量法

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,子曰：,好学近乎知，,力行近乎仁，,知耻近乎勇。,知斯三者，则知所以修身。,知所以修身，则知所以治人。,知所以治人，则知所以治天下国家矣。,中庸,1,第十二章 求变形的能量方法,Energy Method for Calculating Deformation,前面解决了强度问题（简单变形,组合变形）,刚度问题怎么办？,1,、能否避免组合变形的微分方程？,2,、能否只求出若干控制点的变形，避免求整个变形曲线,用,揭示本质法,寻根,能量法,2,本章就寻找能量方法，用于求位移,优点：,1,.,不管中间过程，只算最终状态,2,.,能量是标量，容易计算,质点力学,挠,曲线,能量方法？,3,内 容,121,杆件,变形位能的计算,122,卡氏定理,123,莫尔定理,124,计算莫尔积分的图乘法,125,互等定理,126,虚功原理,4,121,杆件,变形位能的计算,Calculating Potential,Energy of Component Deformation,一、条件,大前提：,1,、小变形；,2,、服从郑玄,胡克定律,线弹性体的响应（内力、应力和变形）为外载的线,性函数,小前提：,缓慢加载,变力做功，功只转成变形位能（不转成动能、热能）,5,二、变力做功,贮能,外力缓慢做功,W,，,无损失地转化为变形位能,U,，,贮存于弹性体内部：,U=W,进而计算可变形固体的位移、变形和内力，称为能量方法,P,广义力（力，力偶）,广义位移（线，角位移）,6,三、杆件变形能的计算,1.,轴向拉压杆的变形能计算 微元,dx,上轴力,N(x),做功,7,2.,扭转杆的变形能计算,微元,dx,上,扭矩,T(x),做功,8,3.,弯曲杆的变形能计算,微元,dx,上弯矩,M(x),做功,9,四、变形能的普遍表达式,1,、轴力、扭矩和弯矩各自的变形垂直,相互不做功,2,、变形能与加载次序无关，位能相互叠加（略掉剪力 的影响）,10,内力表达的变形位能 应力表达的变形位能,结 论,1.,变形位能是状态函数,（同最终的力和变形有关）,11,2.,变形位能的计算不能用叠加原理,12,如何解释交叉项？,单独作用时,则,载荷 在载荷 引起的位移上做的功,交叉项是两个载荷相互作用的外力功,解释,1,13,解释,2,载荷 在载荷 引起的位,移上做的功,注意：,1.,载荷交互作用作功，不同于自力做功是,变载由零一点一点增大，而是常力做功,2.,实质是虚功原理,3.,因 ，也包含互等定理,14,五 利用功能原理求位移,根据外力功,W,全部转成变形位能,U,W,=,U,可以求出一个集中力下的位移,例,12.1 P352,要点：,1,、求出截面内力函数（弯矩、扭矩等）,2,、积分求变形位能,U,3,、,W,=,U,，,求出位移,例,12.2,同上三个要点,15,六、引向卡氏定理,例,12.1,例,12.1,后面的偏微分关系是巧合，还是必然？,实际是,卡氏定理,说明要善于发掘更本质的东西,16,例,半圆形等截面曲杆位于水平面内，在,A,点受铅 垂力,P,的作用，,求,A,点的垂直位移（备用题）,解：用能量法（外力功等于应变能）,Q,M,N,M,T,A,A,P,N,B,j,T,求内力,A,P,R,17,外力功等于应变能,变形能,18,122,卡氏定理,Castigliano,Theory,设法推导出（不是简单的证明）,推导的出发点,只有第,i,号外力有增量,19,20,当,即,卡氏定理,21,我得到另一结论，因,意大利工程师,阿尔伯托,卡斯提格里安诺,(Alberto Castigliano,，,1847,1884),当,所以,22,二、使用卡氏定理的注意事项,U,整体结构在外载作用下,的线弹性变形能,P,i,视为变量，结构反力和变形,能等都必须表示为,P,i,的函数,i,为,P,i,作用点沿,P,i,方向的,变形,23,例,求等截面直梁,C,点的挠度,解：,应用对称性得,思考：分布荷载时求,C,点位移？,q,C,a,a,A,P,B,f,24,例,求,A,点的挠度,变形,求弯矩,解：,求变形能,A,L,P,EI,x,O,思考：如何求,A,点转角,25,例,用卡氏定理,求,B,点,的挠度,解：,B,点,加一个力,Q,最后令,Q,=,0,求弯矩,P,A,L,a,B,C,f,x,O,x,1,求变形能,变形,26,实际引向了,Mohr,定理,原载荷和虚载荷各自对应的变形能不必计算,只需计算二者交互的变形能,前面的两个思考题也可以这样解,27,如何计算任一点,A,的位移？,在实载荷下得到,相应内力如弯矩为,M(x),q,(,x,),A,1,、在,A,点加虚单位力,2,、计算 实、虚载荷交互的变形能,123,莫尔定理,Mohr Theory,28,求任意点,A,的位移,f,A,A,f,A,q,(,x,),A,=1,P,0,弯矩,M,(,x,),弯矩,前面讲变形能不能迭加的交互项,因,P,0,=1,29,莫尔定理,(,单位力法,),普遍形式的莫尔定理,30,三、使用莫尔定理注意事项,M,0,(,x,),与,M,(,x,),的坐标系必须一致，每段杆的坐标,系可自由建立,莫尔积分必须遍及整个结构,M,0,沿所求,广义位移,的,方向加,广义单位力,（虚载荷）,时结构产生的内力,M,(,x,),结构在原载荷（实载荷）下的内力,所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功,的量纲,31,例,求等截面直梁,C,点的挠度和转角（,例,12.3 P356,）,解：,画单位载荷图,求内力,B,A,a,a,C,0,P,=1,B,A,a,a,C,q,x,32,对称性,变形,B,A,a,a,C,q,x,0,P,=1,B,A,a,a,C,33,求转角，重建坐标系（如图）,q,B,A,a,a,C,x,2,x,1,B,A,a,a,C,M,C,0,=1,d,),(,),(,),(,),(,),(,0,0,),(,0,0,+,=,a,BC,a,AB,x,EI,x,M,x,M,d,x,EI,x,M,x,M,34,各种方法比较,方 法,应 用 范 围,补救范围,计 算 量,注：,卡氏定理求含参数积分，再求导；,莫尔定理是纯数值积分；,所以莫尔定理计算量小,功能原理,单个集中载荷,方向的位移,无法补救,1.,积分求变形能,2.,求外力功,卡氏定理,多种载荷中,任,一集中载荷方向,的位移,任意位移,(,给出虚载,荷,P,，,最后,令,P=0),1.,积分求变形能,2.,求偏导数,莫尔定理,任意位移,积分求交互能量,35,例,12.4 P357,例,12.6 P360,实质是刚架,梁、刚架,杆、桁架,例,12.5 P359,36,124,计算莫尔积分的图乘法,Multiplicative Graph,Method for Calculating Mohr Integration,为了简化,Mohr,积分计算,坐标原点取直线与 轴的交点,对原点的形心坐标,的面积,对应弯矩 的值,在单位力作用下，是一条直线,37,1,P,1,2,f,11,f,21,2,P,2,f,22,f,12,1,125,互等定理,Reciprocal Theory,1,、,功的互等定理（,Reciprocal Theory of Work,）,功的,互等定理,38,2,、位移互等定理（,Reciprocal Theory of,Displacement,）,如果,则有,位移互等定理，又叫,Maxwell,位移互等定理,书上讲法的缺点；,功的互等定理,神秘色彩,位移互等定理,先验论,例题,12.15,，,P377,对于,39,126,虚功原理,Principle of Virtual Work,1,虚位移,对于刚体：约束条件许可的无限小位移,对于变形体：约束条件和变形协调条件许可的,无限小位移,功的,互等定理中,不是 发生的位移，只是位置,1,处的一种可能,位移，或叫虚位移,40,2,、,虚功原理,对于刚体：,平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所作的虚,功之和为零,对于变形体：,平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所作的虚,功恒等于内力在虚变形上的虚功（虚变形位能）,41,3,虚功的计算,外力：,P,1,P,2,内力：,N,M,外力虚功：,W,e,=P,1,a,1,+P,2,a,2,+.,虚位移：,a,1,a,2,.,虚变形：,内力虚功：,42,由,W,e,=,W,i,虚功,原理是最一般的功能原理,对于梁，施加单位力,P=1,力,P,产生的内力,则,有：,43,莫尔,定理,44,小结：,1,变形位能的概念,2,卡氏定理,3,莫尔定理,4,互等定理,5,虚功原理,作业：,12.19,12.20,45,