5.1非简并定态微扰理论

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 微扰理论,前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理论解决了一些简单问题。如：,（,1,）一维无限深势阱问题；,（,2,）线性谐振子问题；,（,3,）氢原子问题。,这些问题都给出了问题的精确解析解。,然而，对于大量的实际物理问题，,Schrodinger,方程能有精确解的情况很少。通常体系的,Hamilton,量是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称近似方法）就显得特别重要。,一、适用条件,求解定态薛定谔方程,比较复杂，无法直接求解，若可将其分成两部分,5.1,非简并定态微扰理论,(5.1-1),的本征值和本征函数可以求出,(5.1-2),H,是很小,可以看作加于,H,(0),上的微小扰动。,为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为：,(5.1-4),因为,E,n,、,|,n,都与微扰有关，可以把它们看成是,的函数而将其展开成,的幂级数：,设,(5.1-3),而,|,n,(0),|,n,(1),2,|,n,(2),.,分别是状态矢量,0,级近似，一级修正和二级修正等。,(5.1-6),(5.1-5),将,(5.1-1),(5.1-4)-(5.1-6),代入,方程,(5.1-3),得：,(5.1-7),即可写为,根据等式两边,同幂次的系数应该相等，可得到如下一系列方程式,:,(5.1-8),(5.1-9),(5.1-10),现在我们借助于未微扰体系的态矢,n,(0),和本征能量,E,n,(0),来导出扰动后的态矢,n,和能量,E,n,的表达式。,(1),能量一级修正,E,n,(1),由,(5.1-9),知,态矢和能量的一级修正,或写成,左乘,(5.1-11),由,于左边,(5.1-12),所以,右边,能量一级修正,E,n,(1),即能量,的一级修正为 在 中的平均值,.,能量的一级修正,(5.1-13),根据力学量本征矢的完备性假定，,H,(0),的本征矢,n,(0),是完备的，任何态矢量都可按其展开，,n,(1),也不例外。因此我们可以将态矢的一级修正展开为：,(5.1-14),态矢的一级修正,将,(5.1-14),式,代入式,(5.1-9),得：,考虑到本征基矢的正交归一性：,左乘,由于,所以,所以,(5.1-17),代入式,(5.1-14),得：,(5.1-18),所以,波函数的一级近似为：,所以得,(5.1-17),(5.1-21),为求能量的二级修正,由,左乘,所以,(5.1-19),最后写成,（,5.1-20,）,（,5.1-21,）,例,1.,一电荷为,e,的线性谐振子，受恒定弱电场,作用。电场沿,x,正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。,解：,（,1,）电谐振子,Hamilton,量,（,2,）写出,H,0,的本征值和本征函数,E,(0),n,(0),（,3,）计算,E,n,(1),可利用,计算能量二级修正,利用递推公式：,对谐振子有；,E,n,(0),-E,n-1,(0),=,E,n,(0),-E,n+1,(0),=-,，,电谐振子的精确解,其中,x,=x,e/,2,，,可见，体系仍是一个线性谐振子。它的每一个能级都比无电场时的线性谐振子的相应能级低,e,2,2,/2,2,，,而平衡点向右移动了,e/,2,距离。,