线性反馈系统的时间域综合

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第6章线性反馈系统的时间域综合,第6章 线性反馈系统的时间域综合,6.1 状态反馈和输出反馈,6.2 状态反馈极点配置,6.4 全维状态观测器,6.3 状态反馈动态解耦,1,在控制理论中，反馈结构是系统设计,的主要方式。,对输入输出模型，只能采用输出反馈；,状态空间模型能够提供系统内部的状态,信息，所以，能够采用状态反馈，对系统进,行更细致的控制。,2,系统的综合：已知系统的结构和参数，,设计控制规律u，使系统在其作用下的行为,满足所给出的期望的性能指标。,性能指标可分为非优化型性能指标和,优化型性能指标。,3,一 两种常用反馈结构,式中 v是p维参考输入；,K,R,p,n,是,p,n维,定常反馈矩阵。,引入状态的线性反馈,1 状态反馈,设系统为,状态反馈和输出反馈,6.1,线性状态反馈，简称状态反馈,4,状态反馈系统的结构图,u,x,y,+,+,B,C,A,状态反馈(闭环)系统的状态空间描述为：,特征多项式：,传递函数矩阵：,K,+,-,v,5,2. 输出反馈,当将系统的控制量,u,取为输出,y,的线性函数,时，称之为线性输出反馈，常简称为,输出反馈。,式中：,v,是,p,维参考输入向量；,F,是,p,q,维实反馈增益矩阵。,6,输出反馈系统的结构图,v,+,-,F,u,x,y,+,+,B,C,A,输出反馈(闭环)系统的状态空间描述为：,特征多项式：,传递函数矩阵：,7,3. 状态反馈结构与输出反馈结构比较,(1)反馈属性上: 状态反馈是一种完全的系统信息反馈，输,出反馈则是系统结构信息的一种不完全反馈。,(2)反馈功能上:状态反馈在功能上要远优于输出反馈。,(3)反馈实现上：输,出反馈要优于状态反馈。,8,1. 对系统可控性和可观测性的影响,二. 反馈结构对系统性能的影响,定理：状态反馈不改变系统的可控性，,但可能改变系统的可观测性。,证明：,证可控性不变。,显然对于任意的,K,阵以及所有的,s,，有,根据系统可控性的PBH秩判据可知，其可控性在状,态反馈前后保持不变。,9,再来证状态反馈系统，不一定能保持可观测性。由于,状态反馈改变系统的极点(特征值)，若发生零点与极点抵消情况，则改变系统的可观性。,例：已知可控可观测系统,原系统的传递函数：,若采用的状态反馈是：,没有零极点对消！,10,则闭环系统的系统矩阵为：,闭环系统可观测性判别矩阵为：,则闭环系统为：,所以闭环系统是不完全可观测，其传递函数为,有零极点对消！,11,定理：输出反馈不改变系统的可控性和可观测性。,证明：,证可控性不变。,可见对于任意的,F,阵以及所有的,s,，有,根据系统可控性的PBH秩判据可知，其可控性在输出反馈前后保持不变。,12,证可观性不变：,可见对于任意的,F,阵以及所有的,s,，有,根据系统可观测性的PBH秩判据可知，其可观测性在输出反馈前后保持不变。,13,2. 反馈结构对系统稳定性的影响,可镇定性：如果采用反馈措施能够使闭环系统稳定，,称该系统是反馈可镇定的。,状态反馈和输出反馈都改变系统的特征值，故都影响系统的稳定性。,镇定：加入反馈，使得通过反馈构成的闭环系统,成为稳定系统，称之为镇定。,由于状态反馈具有许多优越性，而且输出反馈总可以找到与之性能等同的状态反馈系统，故在此只讨论状态反馈的可镇定性问题。,14,对于线性定常受控系统,如果可以找到状态反馈控制律,使得通过反馈构成的闭环系统,是渐近稳定的，即,（,A-BK,）,的特征值均具有负实部，则称系统实现了状态反馈镇定。,定理：当线性定常系统的,不可控,部分渐近稳定时，系统是状态反馈可镇定的。,15,证明：,由于系统,A,B,不完全可控，其结构分解为,对于任意的状态反馈矩阵 ，可导出,即状态反馈不能改变不可控极点，因此使闭环系统稳定的必要条件是不可控部分是渐近稳定的。,其中：,16,36,考虑系统,能否通过状态反馈镇定？请说明理由。,17,36,考虑系统,(,1) 求出系统的传递函数,（2）引入状态变量的线性反馈，反馈增益矩阵为 ，,反馈后闭环系统的可控性和可观性是否改变，请说明理由。,18,6.2 系统的极点配置,(),利用状态反馈和输出反馈使闭环系统的极点位于所希望的极点位置，称为,极点配置,。状态反馈和输出反馈都能配置闭环系统的极点。,状态反馈,K,不能改变不可控部分的极点，但能够任意配置可控部分的极点。,输出反馈,F,也只能配置可控部分的极点，但不一定能实现期望极点的任意配置；不能将极点配置到系统的零点处。,19,1极点可配置条件,定理: 利用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统可控。,能否使闭环极点,配置到这些位置？,-2，-2，-1，-1,-2，-2，-2，-2,-2，-2，-2，-1,例如下列系统：,一 单输入系统的极点配置,20,引入状态反馈：,其中：,证明：以单输入系统来证明该定理。,1）充分性：,若系统完全可控，则通过非奇异线性变换,可变换为可控标准型:,21,闭环特征方程为：,则引入状态反馈后闭环系统的系统矩阵为：,22,闭环特征方程为：,该,n,阶特征方程中的,n,个系数，可通过,来独立设置，也就是说 的特征值可以任意选择，即系统的极点可以任意配置。,2）必要性：,如果系统（,A,b,）不可控，说明系统的有些状态将不受,u,的控制，则引入状态反馈时就不可能通过控制,k,来影响不可控的极点。,23,二. 单输入单输出系统的极点配置算法,(),给定可控系统(,A,b,c,)和一组期望的闭环特征值 , 要确定(1,n,)维的反馈增益向量,k,使闭环系统矩阵(,A,-,bk,)的特征值为 。,1. 通用的计算方法,(),：,设,(1) 计算期望的特征多项式：,24,(2) 用待定系数计算闭环系统的特征多项式：,(3) 由下列,n,个方程计算反馈矩阵,k,的元素：,注意：,系统完全可控，单输入系统的极点配置有唯一解；系统不完全可控，若期望极点中包含所有不可控极点，极点配置有解，否则无解。,25,例 已知线性定常系统状态方程为,求反馈向量,k,，使系统的闭环特征值为：,解：,(1) 计算期望的特征多项式：,(2) 设 用待定系数计算闭环系统的特征多项式：,26,(3) 系数对应相等：,解得：,即：,27,(1) 计算,A,的特征多项式:,(2) 计算期望的特征多项式:,计算,(,可控标准型,),反馈矩阵,:,2.,完全可控,系统极点配置的规范算法,28,(6) 计算原系统的反馈增益阵：,(4) 计算变换矩阵,P,-,1,:,(5) 计算,P,：,29,上例的规范计算方法,解：系统的可控性判别阵为：,系统是完全可控的，满足可配置条件。,1）系统的特征多项式为：,30,2）系统的期望特征多项式为：,3）计算 ：,4）变换矩阵为：,31,5）求,P,：,6）计算反馈增益向量：,32,二 多输入系统的状态反馈极点配置,循环矩阵性质：,当且仅当,A,的约当标准型中相应于每个不同的,特征值仅有一个约当小块时，,A,为循环矩阵。,1 直接法,循环矩阵定义：矩阵,A,的特征多项式等于其最小多项式,若,A,的,n,个特征值两两互异，则,A,为循环矩阵；,若,A,为循环矩阵，则至少存在一个,n,维列向,量,b,，使,A,b,可控,33,循环矩阵相关定理：,定理1,：,若系统A,B完全能控，且A为循环矩阵，则几乎对任意的实向量 ，单输入系统A,B,状态完全能控.,定理2：,若A不是循环矩阵，且系统A,B,完全能控，则几乎对任意的矩阵 ，A-BK的全,部特征值均不相同，因而,A-BK是循环矩阵,。,定理3：,对n阶多输入线性定常系统，通过,状态反馈，实现系统全部n个极点任意配置的充,要条件是系统状态完全能控。,34,第1步：判断矩阵A是否为循环矩阵,若不是，则引入一状态反馈,使得系统 的系统矩阵,为循环矩阵，即,多输入系统极点配置算法直接法,第2步,：,对循环矩阵 ，适当选取实常向量 ，,令： ，使 为状态完全能控。,35,第3步,：对于等价单输入系统 ，利用单输入,极点配置问题的算法，求出状态增益向量,第4步,：当A为循环矩阵时，所求的增益矩阵为：,当A为非循环矩阵时，所求的增益矩阵为：,36,2 李亚普诺夫方程法,给定完全能控的多输入线性定常系统,和一组任意的期望闭环特征值 ，要求,通过状态反馈 ，使闭环系统的特征,值 。同时要求：,37,第1步,：任选nn矩阵F，要求F的特征值为期望,的特征值。,第2步,：,选取一个p,n实常值矩阵 ，使,为状态完全能观。,第3步,：,对给定矩阵A，B，F和 ，解李亚普诺夫,方程：,确定出唯一n,n的解矩阵T。,38,第4步,：,若T为非奇异的，则所确定的状态,反馈矩阵K为：,若T为奇异矩阵，则返回步骤2重新选择 。,39,3 能控规范形法,给定完全能控的多输入线性定常系统,和一组任意的期望闭环特征值 ，,要求通过状态反馈 ，使闭环系统,的特征值 。,以n=9，p=3为例。,40,第1步,：将系统A,B化为龙伯格能控规范形。,41,第2步,：,将期望的闭环特征值，按龙伯格能控规范形中 的对角块个数和维数，分组，并计算每组对应多项式。,42,第3步,：,对龙伯格能控规范形 ，按如下形,式选取pn状态反馈矩阵 。,第4步,：,计算所求状态反馈增益矩阵K。,43,三 状态反馈对传递函数矩阵的影响,结论,：,对状态完全能控的单输入单输出系,统，引入状态反馈后，闭环系统传递函数的零点,不发生改变，极点可能发生改变。,1 单输入单输出线性定常系统,44,结论,：,对状态完全能控的多输入多输出线性,定常系统，状态反馈在配置传递函数矩阵全部n个,极点的同时，一般不影响G(s)的零点。,2 多输入多输出线性定常系统,G(s)的零点,：,对既能控又能观的系统，满足,的所有s的值。,45,0,解耦控制,：,对多输入-多输出系统，通,过一定的控制算法，使系统的每个输入都可,单独地影响每个输出，即使系统的输入和输,出之间一一对应。,u,x,y,+,+,B,C,A,+,v,K,-,L,状态反馈动态解耦,6.3,46,0,一 动态解耦,对多输入-多输出线性定常系统,在以下三个假设的前提下,输入向量的维数等于输出向量的维数，即,p=q;,解耦控制算法采用状态反馈结合输入变换的方,法，即,u=-,Kx+Lv,;,输入变换矩阵,L,为非奇异。,47,0,通过u=-Kx+Lv，可以实现系统的动态解耦，,得到的闭环系统的状态空间描述为：,其闭环传递函数阵为非奇异对角有理分式矩阵：,48,0,1 结构特性指数和结构特性向量的定义,对pp的传递函数阵，表示,二 传递函数矩阵的两个特征量,49,0,结构特性指数 ：,结构特性向量 ：,50,0,2 结构特性指数和结构特性向量的性质,结构特性指数为非负整数，取值范围为,可由状态空间描述参数矩阵直接求 和 ：,51,0,对真有理分式阵,G(s,),，其结构特性向量 为,1,p,的行向量。,引入状态反馈和输入变换后闭环系统的结构特,征量为：,52,0,对任意矩阵对,L,K,，其中,detL,0,，开环系统,和闭环系统的传递函数矩阵的特征量之间存在,如下关系：,53,0,三 可解耦条件,结论1,：,对线性定常系统，利用状态反馈和,输入变换实现动态解耦的充要条件为：,E为非奇异矩阵！,54,0,结论2(积分型解耦),：,设线性定常系统满足可,解耦条件，选取解耦控制规律u=-Kx+Lv,，,其中：,解耦后的系统传递函数矩阵为：,55,0,已知状态完全能控的线性定常系统：,要求确定一个状态反馈和输入变换矩阵对,K,L，使相应的闭环系统实现动态解耦，并使解,耦后每个单输入单输出系统实现期望极点配置。,四 确定解耦控制对K,L的算法,56,第1步,：计算受控系统的特征量,第2步,：组成并判断矩阵E的非奇异性，若为非奇,异即能解耦，进入下一步；否则不能解耦，,停止计算。,57,第3步,：计算矩阵,第4步,：取预输入变换矩阵 和预状态反馈阵,导出积分型解耦系统为：,其中：,且 保持完全能控。,58,第5步,：判断 能观测性。若为不完全能观,测，计算：,第6步,：引入线性非奇异变换 ，化积分型,解耦系统 为解耦规范形：,59,第7步,：由已知 和 定出 。,第8步,：对解耦规范形 ，选取pn状态,反馈矩阵 ，使 实现动态解耦。,第9步,：对解耦后各单输入单输出系统指定期望极点组：,按单输入极点配置算法，定出状态反馈矩阵各个元组：,60,第10步,：对原系统A,B,C，定出满足动态解耦,和期望极点配置的一个状态反馈和输入变换,矩阵对L,K：,61,6.4 全维状态观测器,问题的提出,全维状态观测器,观测器的结构形式,观测器的存在条件,观测器综合算法,62,图1 状态重构问题的直观说明,一、问题的提出,n,维的线性定常系统,+,+,观测器,+,-,图1 加入状态反馈后的系统结构图,63,状态观测器：输出 渐进等价于原系统状态,x,(,t,)的观测器，即以,为性能指标综合得到的观测器。,状态观测器,全维状态观测器：,降维状态观测器：,重构状态向量的维,数等于被控对象状,态向量的维数.,重构状态向量的维,数小于被控对象状,态向量的维数,64,32,1、观测器的结构形式,考虑n维线性时不变系统,要求观测器系统的输出满足如下关系：,二、全维状态观测器,65,开环观测器的状态方程为：,+,+,+,+,图,2,开环状态观测器,被控系统,开环状态观测器,式中： 是被控对象状态向量,x,的估计值.,1) 开环观测器,66,+,+,+,+,+,+,-,+,图3 全维状态观测器,-,状态反馈,被控系统,全维状态观测器状态空间描述为：,（3）,2) 全维状态观测器,观测器输出反馈阵,67,图4 全维状态观测器,(3)式可改写为：,+,+,+,+,+,被控系统,闭环状态观测器,(4),68,2、观测器的存在条件,状态观测器分析设计的关键问题是能否在任何初始条件下，即尽管 与 不同，但总能保证,成立。只有满足上式，状态反馈系统才能正常工作，,或,所示系统才能作为实际的状态观测器。,(4),(3),(2),那么，如何通过选取,L,，使得由式(3)或(4)反映的观测器能满足式(2)呢？,69,观测器的存在条件（即观测器任意极点配置的条件）,定理：若被控系统(,A,C,)可观测，则必可采用,所示的全维状态观测器来重构其状态，并且必可通过选择增益阵,L,而任意配置(,A,-,LC,)的全部特征值。,70,证：,利用对偶原理，系统(,A,B,C,)可观测意味着其对偶系统 可控。由,极点配置的结论：利用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件是被控系统可控。,所以对于可控系统 来说，对于任意给定的,n,个特征值，必可以找到一个状态反馈增益阵 ，使反馈后的系统特征值等于指定的特征值 ，即使下式成立：,(5),其中：,71,是由期望特征值所确定的闭环系统特征多项式。由于矩阵的转置不改变矩阵的特征值，故,(6),这就意味着(,A,-,LC,)的特征值可由,L,任意配置。因此，只要给定的系统,（,A,B, C,）,可观测，必然可以通过选择增益阵,L,将,(,A-LC,),配置到特定的特征值上，从而使设计的全维状态观测器满足观测器存在条件，可以实际运用。,72,3、观测器综合算法,方法一：原理性算法,方法二：规范算法,对于给定的,n,维被控系统,设系统(,A,B,C,)可观测，再对要设计的全维状态观测器给定一组期望的特征值: ，设计全维状态观测器。,73,方法一：原理性算法（,）,1) 计算期望的特征多项式,2）设反馈增益阵 ，用待定系数计算闭环观测系统特征多项式,其中：系数,a,i,中包含未知元素,l,i,。,74,3）求解下列,n,个方程，计算出反馈矩阵,L,的元素,4）计算(,A-LC,)，则所要设计的全维状态观测器就为,而 即为,x,的估计状态。,75,方法二：规范算法（）,1）导出被控系统(,A,B,C,)的对偶系统(,A,T,C,T, B,T,),；,2）利用完全可控系统极点配置的规范算法，计算系统(,A,T,C,T, B,T,)的反馈增益阵,L,T,；,3）计算(,A-LC,)，则所要设计的全维状态观测器就为,而 即为,x,的估计状态。,76,例：给定系统,解：方法一,观测器系统的特征值为： ,试构造全维状态观测器.,1) 期望特征多项式：,该系统可观测，可任意配置全维状态观测器的极点。,77,4）设计的全维状态观测器为：,3）得到方程组：,2）设增益阵 , 闭环观测系统特征多项式为,78,方法二：,79,80,三 分离特性,现在要讨论的是用全维状态观测器提供的估计状态 代替真实状态,x,来实现状态反馈，其闭环特性与利用真实状态进行反馈的情况会有什么区别？,当观测器被引入系统以后，状态反馈系统部分是否会改变已经设计好的观测器的闭环极点配置，观测器输出反馈阵,L,是否需要重新设计？,81,考虑,n,维的线性定常系统,假设系统是可观测的，则可设计全维状态观测器,得到真实状态,x,的估计值 ，引入状态反馈,此时,状态反馈子系统的状态空间描述为：,全维状态观测器的状态空间描述为：,82,故组合系统的状态空间描述为：,由此可见，引入全维状态观测器的状态反馈系统，其维数为被控系统和观测器系统的维数之和（2,n,维）。,还可证明组合系统特征多项式为：,83,+,+,+,+,+,33,+,-,-,含有全维状态观测器的状态反馈系统,组合系统的特征多项式为：,84,36,分离定理,：,若被控系统,A,B,C,完全可控且完全可观，利用状态观测器的状态估计值实现状态反馈控制系统时，,状态反馈矩阵,K,的设计和观测器中输出反馈矩阵,L,的设计可以独立进行。,85,