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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1 质心,2 质心参考系,3 质心运动定理,高速闪光灯拍摄的扳手在光滑桌面上作运动的情况,三 质心 质心运动定理,1 质心,水平上抛三角板,运动员跳水,投掷手榴弹,其中 为质点系的总质量,若令系统总动量,质点系的整体运动可以等效为一个假想质点,C,的运动。,如何确定这个点的位置？,质心(质量中心)：质点系质量分布的,平均位置,。,直角坐标系中，,各,分量,的表达式,点,C,的位矢是质点系,各质点位矢,的质量,加权平均,。,例：,任意三角形的每个顶点有一质量,m,，求质心。,x,y,o,（,x,1,y,1,）,x,2,对,两质点,系统，质心位置总满足关系式：,m,1,d,1,=m,2,d,2,d,1,d,2,C,m,1,m,2,o,对质量,连续分布,的物体，将其分为n个小质元,直角坐标系中的,分量,表达式,坐标系的选择不同，质心的,坐标,也不同；,密度均匀，形状对称,的物体，其质心在物体的,几何中心,处；,质心,不一定在物体上,，例如：圆环的质心在圆环的轴心上。,线分布：,面分布：,体分布：,例：,已知半圆环质量为，,半径为,求：,它的质心位置？,解：,建立坐标系如图,取d,l,d,m,=,l,d,l,d,l,=,R,d,线密度,由对称性,质心不在物体上，但相对半圆环位置固定,例：,求半径为R的半球形球壳的质心,半球壳的总质量为,如图将球壳细分成无数多细环，细环半径记为r，,设,球壳质量,面密度,为,s,，则其中任一,细环的质量,为,解：,根据,对称性,，细环的质心位于y轴。,半球壳质心的位置,例：,计算如图所示的,面密度,为恒量的直角三角形的质心的位置。,解：,取如图所示的坐标系,取微元ds=d,x,d,y,，质量为d,m,=d,s,=d,x,d,y,质心的,x,坐标,为,从图中看出三角形斜边的方程为,同理,质心的坐标为,例：,半径为R的,大球,内有一个半径为,R,/2的,球形空腔,，空腔的下部放置了一个半径为,R,/4的,小球,。已知大球和小球的,质量密度相同,。,求：,系统的质心。,解：,该系统可看成由,质量分布均匀(无空腔),的大、中、小,三个,球体组成，它们各自的,质心,分别处于球心处。,中球的质量为负,。,大球：,中球：,小球：,设,小球,质量为m,0,，,则质量和质心坐标分别为：,系统的总质量为,三个球体可视为质量各自集中在质心（球心）处的三个,质点。,实例,重心,是,重力的作用点,，质心是系统质量分布的中心。,当物体远离地球而不受重力作用时，重心这个概念就,失去意义,，但质心却依然存在。,除非,重力场均匀,，否则系统的质心与重心通常不,重合。,重心(Center of Gravity)和质心(,Center-of-Mass)是两个,不同,的概念：,质心的运动代表着质点系,整体的运动,，与单个质点的运动相同。这正是将,实际物体,抽象为,质点模型,的实质。,质点系的任何运动一般都可,分解为,质心的运动,和,相对于质心的运动,小线度物体（其上 各处相等），质心和重心是重合的。,作用在物体上各部分的重力,方向,平行；重力加速度可以视为,常数,。,对于地球上体积不太大的物体，重心与质心的位置是重合的,。,但当物体的高度和地球半径相比较不能忽略时，两者就不重合了，,如高山的重心比质心要低一些。,z,r,i,x,y,x,y,z,m,i,r,c,r,i,2 质心参考系,质心参考系是,固结在质心上,的,平动参考系,。,质心在其中静止，一般选取质心作为,坐标系,的原点。,质心系,不一定,是惯性系，只有,合外力为零时,质心系才是惯性系。,质心系中的速度,求导,从质心系中来看,，系统总动量=0，,零动量参考系,动量守恒,在讨论碰撞及天体运动时经常用到质心系。,卡戎(冥卫一)和冥王星组成双星系统，,它们的共同质心在冥王星表面以外。,3 质心运动定理,1、系统的总动量,系统内各质点的动量的矢量和等于系统质心的速度与系统质量的乘积,C,m,i,v,C,v,i,r,C,r,i,z,y,x,O,2、质心运动定理,质心运动定律：,作用在,系统上,的,合外力,等于系统的,总质量,与系统,质心加速度,的乘积。,与描述,质点运动,的牛顿第二定律在形式上完全相同。,整体的运动,单个质点的运动。,质心的运动,与,内力无关,，仅取决于外力，如,大力士不能自举其身。,若,质点系,受到的外力的矢量和为零，则,质心,静止或作匀速直线运动,o,z,例：,柔绳下落,一质量,m,长度为,l,均匀柔绳竖直悬挂，其下端刚刚与地面接触。今使之,自静止状态,下落，,求：,绳下落到所剩的长度为,z,时，地面对绳的作用力。,设地面对绳子的作用力,N,，绳子的,质心加速度,a,c,，建立如图所示坐标系，对,整个绳子,：,未落地部分,：质量 ，质心的坐标为 ，,解：,取,整条绳子,为研究对象，,将柔绳视为质点系，,采用,质心运动定理,求解。,质心的坐标：,未落地部分+已落地部分,整条绳,的质心坐标为,质心的速度为,质心的加速度为,例：,车在船上的运动,船长,l,1,，质量,m,1,；汽车长,l,2,，质量,m,2,。汽车从船尾由,静止开始,向船头运动，到达船头时恰好,相对船静止,，,求：,由于汽车的运动而使,船移动的距离,。,解：,在,水平方向上,，车和船组成的系统所受外力为零，,动量守恒,。,方法1,用动量守恒定律（略）,外力=0，系统质心保持静止,方法2,用质心的概念,m,1,m,2,设初始船和车的坐标分别为,x,10,和,x,20,，,根据质心坐标的定义得,t,0,时刻,t 时刻,两式相减得,车的绝对位移为：,船移动的距离,车的相对位移,解：,考虑弹丸为一系统；,爆炸,前后系统所受外力没变，,弹丸的,质心,的运动轨迹都在同一抛物线上。,取第一块碎片的落地点为坐标原点，水平向右为正方向，,设m,1,和,m,2,为两个碎片的质量；,设,x,1,和,x,2,为两块碎片落地点距原点的距离；,x,c,为弹丸质心距原点的距离。,由于,x,1,=0，,m,1,=,m,2,=,m,即第二块碎片的落地点的水平距离为碎片质心与第一块碎片水平距离的两倍。,例：,设一个质量为2,m,的弹丸，从地面斜抛出去，到,最高点,处爆炸成,质量相等,的两块碎片。其中一块碎片,竖直自由下落,，另一块碎片,水平抛出,，它们同时落地。,试问,第二块碎片落地点在何处？,小 结,质心,质心运动定理,质心位置的计算，区别质心与重心,*质心参考系：零动量参考系,系统的运动=,整体的运动+各质点相对于质心的运动,质心的运动与内力无关,演示,作业：,P-139,38，39,
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