二维随机变量函数的分布

华中科技大学文华学院,概率论与数理统计,2010年3月5月,数学教研室 梁幼鸣,027-85965056（Home）,15994278022（Mobil）,4 两个随机变量的函数的分布,第三章,二维随机变量及其概率分布,退出,知识点、考点举要,一基本概念,二常用重要函数分布的求法,一维离散变量,二维随机变量的函数,一维连续变量,常用重要函数的分布,和的分布,最大与最小值分布,求和的分布的概率密度,最大等于边缘分布函数之积,求分布列仍用归并法,卷积公式,求最值的分布函数,最小等于边缘分布函数,关于1的补数之积的补数,退出,范例选析,思考与练习,两个随机变量之和的分布,4 两个随机变量的函数的分布,两个随机变量最大与最小取值的分布,退出,退出,返回,在离散量的分布列中,对,X,Y,所有能,使函数,Z,取同一值的全部取值概率进行,归并(例如,固定一个变量的取值,然后,寻找另一变量与其之和为同一值的取值,概率),所得之和即是函数,Z,在同一可取,之值上的取值概率.,1.离散变量之和的分布列可用归并法求之,Z,=,X,Y,一、和的分布,试求 的分布列,退出,返回,例1,设随机变量(,X,Y,),的联合分布列如下,在联合分布列中对使,Z,解,Z,所有可能的取值显然为 0，1，2,8.,Y,X,0,1,2,3,4,5,0,0,0.01,0.03,0.05,0.07,0.09,1,0.01,0.02,0.04,0.05,0.06,0.08,2,0.01,0.03,0.05,0.05,0.05,0.06,3,0.01,0.02,0.04,0.06,0.06,0.05,可取同一值的,X,与,Y,的取值概率进行归并,即得,Y,的分布律如下,0,0.02,0.24,0.19,0.13,0.06,0,1,P,5,4,3,2,Z,6,7,8,0.19,0.12,0.05,一、和的分布,退出,2.连续变量之和的概率密度可用卷积公式求之,利用分布函数转化法可以证明:,将联合概率密度中的任一变量改写成,和变量与另一变量的差,然后关于另一,变量在(,)上积分,即得和的,概率密度:,返回,或,Z,=,X,Y,一、和的分布,退出,证 ,Z,的分布函数,Z,的概率密度,返回,例2-1,设随机变量,(,X,，,Y,)的联合概率密度为,f,(,x,，,y,).,证明,Z,=,X,Y,的概率密度,或,X,Y,0,x+y=,z,一、和的分布,退出,证,Z,的概率密度,返回,例2-1,设随机变量,(,X,，,Y,)的联合概率密度为,f,(,x,，,y,).,证明,Z,=,X,Y,的概率密度,或,X,Y,0,x+y=,z,类似地,一、和的分布,退出,例2-2,两标准正态量,X,与,Y,相互独立,求其和,的概率密度.,解,返回,于是,依卷积公式即得,且相互独立,联合概率密度,即,一、和的分布,3.若干重要独立量的和的分布可加性,换言之,如果相互独立的随机变量,X,i,N(,i,i,2,),i =,1,2,k,那么,其任意的线性组合量,Z,=,b,1,X,1,+b,2,X,2,+b,k,X,k,也是正态量，且有,退出,返回,Z,=,X,Y,一、和的分布,有限个相互独立的正态量的线性组合仍然,是正态量.,3.若干重要独立量的和的分布可加性,换言之,如果相互独立的随机变量,X,i,B,(,n,i,p,),i =,1,2,k,那么,其和变量,Z,=,X,1,+X,2,+X,k,也是二项分布量，且有,退出,返回,Z,=,X,Y,一、和的分布,是二项分布量.,因此,服从,B,(,n,p,)的二项分布量是,n,个相互独立的 0-1量之和.,有限个相互独立的同类二项分布量之和仍然,3.若干重要独立量的和的分布可加性,退出,返回,Z,=,X,Y,一、和的分布,有限个相互独立的泊松量之和仍然是泊松量.,换言之,如果相互独立的随机变量,X,i,P,(,i,),i=,1,2,k,那么,其和变量,Z,=,X,1,+X,2,+X,k,也是泊松量，且有,退出,例2-4,两 0,1 上的均匀量,X,与,Y,相互独立,试求和变量,的概率密度.,解,返回,于是,依卷积公式,即得,且相互独立,概率密度,1,Z,X,O,z,=,x,+1,z,=,x,1,x,=,z,一、和的分布,例2-4,两 0,1 上的均匀量,X,与,Y,相互独立,试求和变量,的概率密度.,解,且相互独立,概率密度,于是,依卷积公式,即得,1,Z,X,O,z,=,x,+1,1,x,=,z,x,=1-,z,退出,返回,一、和的分布,退出,二、最大与最小值分布,返回,M,=max,(,X,，,Y,),与,N,=,min(,X,，,Y,),如果随机变量,X,和,Y,相互独立，分布函数依次,为,F,X,(,x,)和,F,Y,(,y,)，则最大值,M,=max,(,X,，,Y,),与最小值,N,=min(,X,，,Y,),的分布函数必依次为,即最大值的分布函数是边缘分布函数之积，最小值的分布,函数是边缘分布函数（关于1）的补数之积的补数,1.最值分布的分布函数,退出,二、最大与最小值分布,返回,M,=max,(,X,，,Y,),与,N,=,min(,X,，,Y,),即最大值的分布函数是边缘分布函数之积，最小值的分布,函数是边缘分布函数（关于1）的补数之积的补数,1.最值分布的分布函数,【最值分布函数计算式的证明】,退出,二、最大与最小值分布,返回,M,=max,(,X,，,Y,),与,N,=,min(,X,，,Y,),1.最值分布的分布函数,【最值分布函数计算式的证明】,即最大值的分布函数是边缘分布函数之积，最小值的分布,函数是边缘分布函数（关于1）的补数之积的补数,退出,二、最大与最小值分布,返回,M,=max,(,X,，,Y,),与,N,=,min(,X,，,Y,),即最大值的分布列是联合分布列中两变量取不超过同一可取,k,值的所有概率的总和,2.离散变量的最值分布列可由联合分布列直接归并,【依据】,退出,二、最大与最小值分布,返回,M,=max,(,X,，,Y,),与,N,=,min(,X,，,Y,),即最小值的分布列是联合分布列中两变量取不小于同一可取,k,值的所有概率的总和,2.离散变量的最值分布列可由联合分布列直接归并,【依据】,退出,返回,例2-1,设随机变量,（,X,，,Y,),的分布律,为,Y,X,0,1,2,3,4,5,0,0,0.01,0.03,0.05,0.07,0.09,1,0.01,0.02,0.04,0.05,0.06,0.08,2,0.01,0.03,0.05,0.05,0.05,0.06,3,0.01,0.02,0.04,0.06,0.06,0.05,试求,max,(,X,，,Y,),与,min,(,X,，,Y,),的,分布律,.,M,取其中任一,M,=max,(,X,，,Y,),的取值范围显然为05,解,值,i,的概率(即分布律)为,M,0,1,2,3,4,5,p,0,0.04,0.16,0.28,0.24,0.28,二、最大与最小值分布,退出,返回,例2-1,设随机变量,（,X,，,Y,),的分布律,为,Y,X,0,1,2,3,4,5,0,0,0.01,0.03,0.05,0.07,0.09,1,0.01,0.02,0.04,0.05,0.06,0.08,2,0.01,0.03,0.05,0.05,0.05,0.06,3,0.01,0.02,0.04,0.06,0.06,0.05,试求,max,(,X,，,Y,),与,min,(,X,，,Y,),的,分布律,.,N,取其中任一,N,=min(,X,，,Y,),的取值范围为03,同理,值,i,的概率(即分布律)为,N,0,1,2,3,p,0.30,0.25,0.17,0.28,二、最大与最小值分布,退出,二、最大与最小值分布,返回,M,=max,(,X,，,Y,),与,N,=,min(,X,，,Y,),如果随机变量,X,和,Y,相互独立，分布函数依次,为,F,X,(,x,)和,F,Y,(,y,)，则最大值,M,=max,(,X,，,Y,),与最小值,N,=min(,X,，,Y,),的分布函数必依次为,即最大值的分布函数是边缘分布函数之积，最小值的分布,函数是边缘分布函数（关于1）的补数之积的补数,3.连续变量的最值概率直接由分布函数计算,退出,返回,例2-2,设随机变量,X,i,(,i,=1,2,5),是相互独立的服从同一分布的连续随机变量，,概率密度,为,求,M,=,max,(,X,1,，,X,2,，,X,3,，,X,4,，,X,5,),的,分布函数以及概率,P,M,4,.,各,X,i,的分布函数都为,从而，,M,=,max,(,X,1,，,X,2,，,X,3,，,X,4,，,X,5,),的分布函数为,解,二、最大与最小值分布,退出,返回,例2-3,某型电子管寿命(小时)服从正态分布 求任取4只,无一只的寿命小于180小时的,概率.,且各,X,i,(,i,=1,2,3,4),相互独立.,解,以,X,i,(,i,=1,2,3,4),分别记4只电子管的寿命,，,则显然,令,N,=,min,X,1,X,2,X,3,X,4,，,则应求的概率,二、最大与最小值分布,相互独立时,k,个随机变量最大值的分布函数等于各变量分布函数的乘积，多维随机变量最小值的分布函数等于各变量分布函数(关于1)的补数之积的补数,即,退出,返回,4.多维独立随机变量最值分布的一般性结论,二、最大与最小值分布,若,k,个随机变量同分布(包括同参数),则有,其中,F,X,(,x,)表各随机变量共同的分布函数.,求 的概率密度.,三、范例选析,退出,*,例3-1,设,X,与,Y,相互独立,概率密度分别为,解,依卷积公式,返回,1,Z,X,O,1,z,=,x,x,=1,退出,返回,例3-2,随机变量,（,X,，,Y,),的联合分布律,如右表所示:,1,2,3,1,1/6,1/9,1/6,2,1/18,1/9,1/18,3,1/6,1/9,1/18,试求概率,P,X,=2|,Y,=2 以及,max,(,X,，,Y,),的,分布律,.,解,两边缘分布列如联合,分布列加边后算出的数字所示.,8/18,4/18,6/18,7/18,6/18,5/18,条件概率,M,=max(,X,Y,),的分布律,1,2,3,1/6,三、范例选析,退出,*,例3-3,设随机变量,试求随机变量,解,各,X,i,的分布函数,返回,相,概率密度皆为,互独立,服从同一分布,的概率密度.,三、范例选析,课外书面练习,退出,返回,概率统计练习册,P19：1.(1)(2)(3)(4)(5)(6),(,二维离散与连续随机变量基础知识,),P20:2.(,求二维离散变量的联合分布律,),3.(,求联合概率密度的未知参数与计算概率,),参考答案,退出,返回,(6),(3),(4),(2),以及,1(1),(5),参考答案,退出,返回,*2,3(1)(2),(3)(4),课外书面练习,概率统计练习册,P21,P22,P21:4.,(,二维均匀与正态量与边缘概率密度基础知识,),5.,(,求联合概率密度的未知参数与边缘概率密度,),P22：6.,(,求二维随机变量的取值概率与边缘概率密度,),7.,(,求二维均匀量的联合概率密度及其函数值,),(3),.,参考答案,退出,返回,(2),(2),均匀分布,面积 ,1 ,4(1),二维正态分布,5(1),参考答案,退出,返回,(2),6,7(1),课外书面练习,概率统计练习册,*P23,P24,P23：8.,(,条件分布、一般随机变量与正态量相互独立的常识,),P24：9.,(,求联合分布律，判断离散量的相互独立性,),10.,(,求未知分布参数与两个边缘概率密度，,判断连续量的相互独立性,),(3),.,参考答案,退出,返回,(4),(2),8(1),(6),相互独立,(7),(5),相互独立,X,与,Y,相互独立.,参考答案,退出,返回,10,0,1,0,0,1,2,3,0,9,联合分布列与边缘分