D54反常积分合工大

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、无穷限的反常积分,引例.,曲线,和直线,及,x,轴所围成的开口曲,边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,定义1.,设,若,存在,则称此极限为,f,(,x,),的无穷限,反常积分,记作,这时称反常积分,收敛,;,如果上述极限不存在,就称反常积分,发散,.,类似地,若,则定义,则定义,(,c,为任意取定的常数),只要有一个极限不存在,就称,发散.,无穷限的反常积分也称为,第一类反常积分,.,并非不定型,说明:,上述定义中若出现,它表明该反常积分发散.,引入记号,则有类似牛 莱公式的计算表达式:,例1.,计算反常积分,解:,思考:,分析:,原积分发散!,注意:,对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用,“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.,例2.,证明第一类,p,积分,证:,当,p=,1,时有,当,p,1 时有,当,p,1,时收敛,;,p,1,时发散.,因此,当,p,1,时,反常积分收敛,其值为,当,p,1,时,反常积分发散.,例3.,计算反常积分,解:,二、无界函数的反常积分,引例:,曲线,所围成的,与,x,轴,y,轴和直线,开口曲边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,定义2.,设,而在点,a,的右邻域内无界,存在,这时称反常积分,收敛;,如果上述极限不存在,就称反常积分,发散.,类似地,若,而在,b,的左邻域内无界,若极限,数,f,(,x,),在,a,b,上的反常积分,记作,则定义,则称此极限为函,若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类,说明:,而在点,c,的,无界函数的积分又称作,第二类反常积分,无界点常称,邻域内无界,为,瑕点(奇点),.,例如,间断点,而不是反常积分.,则本质上是常义积分,则定义,注意:,若瑕点,的计算表达式:,则也有类似牛莱公式的,若,b,为瑕点,则,若,a,为瑕点,则,若,a,b,都为瑕点,则,则,可相消吗?,下述解法是否正确:,积分收敛,例4.,计算反常积分,解:,显然瑕点为,a,所以,原式,例5.,讨论反常积分,的收敛性.,解:,所以反常积分,发散.,例6.,证明反常积分,证:,当,q,=1,时,当,q,1,时收敛,;,q,1,时发散.,当,q,1,时,所以当,q,1,时,该广义积分收敛,其值为,当,q,1,时,该广义积分发散,例7.,解：,：,求,的无穷间断点,故,I,为反常,积分.,和,为,内容小结,1.反常积分,积分区间无限,被积函数无界,常义积分的极限,2.两个重要的反常积分,说明:,(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互,相转化.,例如,(2)当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.,提示:,P177 题3,求其最大值.,思考与练习,