椭球面上几种曲率半径

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章,椭球面上几种曲率半径,子午圈（线）曲率半径,卯酉圈（线）曲率半径,任意法截弧的曲率半径,平均曲率半径,1、旋转椭球五个基本几何参数：长半轴,a,；,短半轴,；,扁率,；,第一偏心率,e,；,第二偏心率,e,？,2、,旋转椭球计算中,常引入以下符号：,c,、,t,、,、,W、V,3、经线、纬线、法线的,特性,4、表示旋转椭球面上的点的几种坐标系,子午面直角坐标系,(,L,x,y,),地心纬度坐标系,（,L,，,，,）,归化纬度坐标系,（,L,，,u,）,大地极坐标系,（,S,，,A,）,大地坐标系,（,L,，,B,）,上一讲应掌握的内容,公式写在黑板上,上一讲应掌握的内容,5、各坐标系间的关系,子午平面坐标系与大地坐标系的关系,(,L,，,x,，,y,)(,L,，,B,),空间直角坐标与子午面平面坐标系的关系,(,X,，Y，Z)(,L,，,x,，,y,),空间直角坐标系与大地坐标系的关系,(,X,，Y，Z)(,L,，,B,),上一讲应掌握的内容,5、各坐标系间的关系,空间直角坐标系同归化纬度坐标系的关系,(,X,，Y，Z)(,L,，,u,),空间直角坐标系同地心纬度坐标系的关系,(,X,，Y，Z)（,L,，,，,）,大地极坐标系同大地坐标系的关系,(,S,，,A,)(,L,，,B,),大地主题解算,上一讲应掌握的内容,在赤道圈上,：,B,=,u,=,=,0,在两极处,:,B,=,u,=,=,90,在其他处,:,B,u,u,B,大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经过计算，当B=45时,（,六）,B、u、,之间的关系,过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫作,法截面,，法截面与椭球面的交线叫,法截线,。有无数个,法截面或法截线。,两个特殊的法截线：子午线、卯酉线。,对应有：,子午线（圈）曲率半径，,卯酉,线（圈）曲率半径,曲线的,曲率,是曲线弯曲程度的反映，它是用曲线上无限邻近两点的切向量的交角对弧长的变化率来度量的。,曲线上任一点的曲率的倒数称为,曲率半径,。,曲率越大或曲率半径越小，曲线的弯曲程度越高,一、椭球面上法截线有关概念,二、,子午圈（线）曲率半径,推导思路：曲线的一阶导数是切线，二阶导数是曲率，曲率的倒数是曲率半径。,或,：,子午线曲率半径（另一种推导）,子午圈曲率半径随纬度变化情况,卯酉圈,:,过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。,麦尼尔定理,:,假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦,。,三、卯酉圈（线）曲率半径,卯酉线（圈）曲率半径推导思路,卯酉圈曲率半径的特点,:,卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率,中心位在椭球的旋转轴上。,卯酉线（圈）曲率半径,随纬度变化情况,大地方位角为,A,的任意法截弧的曲率半径，由微分几何的尤拉公式得：,四、任意法截弧的曲率半径,子午线,卯酉线,T,（北）,A,P,Q,D,（东）,不仅与点的纬度,B,有关，而且还与过该点的法截弧的方位角,A,有关。,当,时，变为计算子午圈曲率半径的，即,当,90,时，为卯酉圈曲率半径，即,主曲率半径,M,及,N,分别是,的极小值和极大值,。,当,A,由,0,90,时，,之值由,当,A,由,90,180,时，,值由,N,，可见,值的变化是以,90,为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。,任意法截弧的曲率半径的变化规律,五、平均曲率半径,只要取,A,自,0,至,90,范围内的,R,A,的平均值即可：,椭球面上任意一点的平均曲率半径,R,等于该点子午圈曲率半径,M,和卯酉圈曲率半径,N,的几何平均值。,六、椭球面上几种曲率半径的关系,为了便于记忆，,N,、,R,、,M,的公式可表示成有规律的形式,椭球面上几种曲率半径,以上讨论的子午圈曲率半径,M,及卯酉圈曲率半径,N,，是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统称为,主曲率半径,。,六、主曲率半径的计算公式,不同的椭球元素对应不同的系数,主曲率半径的计算公式系数,主曲率半径的计算公式（续）,亦可按：展开。,则得：,主曲率半径的计算公式系数（续）,结束,谢谢!,经线、纬线、法线的特性,B,M,经线与纬线互相垂直,除赤道、两极上的法线外，法线不通过椭球中心,纬度较高的点，其法线与旋转轴的交点就较低,同一点的,经线切线,与,纬线切线,垂直，也与,法线,垂直，三者可构成三维直角坐标系,平行圈的,主法线,、,副法线,及,切线,亦可构成三维直角坐标系,R,S,T,P,O,N,Z,法截线,