函数的单调性与曲线的凹凸性

单击此处编辑母版标题样式,上页,下页,结束,返回,首页,单击此处编辑母版标题样式,3.4,函数的单调性与曲线的凹凸性,单调性的判定法,单调区间求法,曲线的凹凸性,曲线凹凸的判定,曲线的拐点及其求法,一、单调性的判定法,定理,证,应用拉氏定理,得,定理,例,1,讨论函数,y,=,x,-sin,x,的单调性。,解：,y,=1-cos,x,0,，,y,=,x,-sin,x,在,(,+,),上单调增加,几何上看：单调区间的分界点是使,f,(,x,)=0,的点,.,注,1,:,区间内孤立点处导数为零或不存在,不影响函数在区间上的单调性,.,例,2,解,注,2,:,函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一,区间上的符号来判定,，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,例,3,解,二、单调区间求法,问题,:,如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义,:,若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的,单调区间,.,导数等于零的点,和,不可导点,，可能是单调区间的分界点,方法,:,例,4,解,单调区间为,还可以用列表的方式讨论,x,+,+,y=f,(,x,),列表：,例,5,证,注意,:,区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性,.,例如,利用单调性证明不等式和判断方程根,P130,例,1,例,6,证明当,x,0,时，,证：令,F,(,x,),在,(0,+),内单调上升，又,F,(0)=0,，,F,(,x,),在,x,=0,处连续，,利用单调性证明不等式和方程根,三、曲线的凹凸性,问题,:,如何研究曲线的弯曲方向,?,图形上任意弧段位,于所张弦的上方,图形上任意弧段位,于所张弦的下方,定义,四、曲线凹凸的判定,定理,1,分析,定理,1,证,定理,1,证,结论（,2,）可类似得证,.,教材上用,langrange,定理证明,!,例,7,解,注意到,五、曲线的拐点及其求法,1.,定义,注,:,拐点处的切线必在拐点处穿过曲线,.,证,2,、拐点的求法,二阶导数,等于零,的点和二阶导数,不存在,的点，,可能,是拐点,方法,1:,例,10,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,例,12,解,小 结,1.,单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用,.,2.,定理中的,区间换成其它,有限或无限区间，结论仍然成立,.,3.,应用：,利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式,.,4.,曲线的弯曲方向,凹凸性,;,5.,改变弯曲方向的点,拐点,;,凹凸性的判定,.,拐点的求法,.,思考题,1,思考题解答,不能断定,.,例,但,当 时，,当 时，,注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内，都不单调递增,思考题,2,思考题解答,例,作业：,P152,：,3-,（,3,）、,5-,（,1,）（,5,）、,6,、,7,、,8-,（,3,）、,9-,（,3,）,方法,2:,例,解,2,、拐点的求法,所以,是拐点,.,