数学归纳法及其应用举例

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 数学归纳法及其应用举例,数学归纳法及其应用举例,教学目标,重点难点,教学内容,随堂练习,课堂总结,课后作业,教学目标,（1）掌握,数学归纳法的思想,（,2,）,数学归纳法学习是数列知识的深入与拓展，也是一种重要的数学方法可以使学生学会一种研究数学的科学方法,重点难点,重点,：归纳法意义的认识和数学 归纳法产生过程的分析,难点,：数学归纳法中递推思想的 理解,演绎推理,推理方法,归纳推理,(,一般到特殊,),(,特殊到一般,),完全归纳,不完全归纳,三段论,教学内容,(1),不完全归纳法引例,明朝刘元卿编的,应谐录,中有一个笑话：财主的儿子学写字这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横,”,的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的,有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些他给每人筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生显然，二徒弟比大徒弟聪明,(2),完全归纳法对比引例,教学内容,例题引入,问题情境一,:,问题,1:,大球中有,5,个小球，如何证明它们都是绿色的？,问题,2:,如果,a,n,是一个等差数列，怎样得到,a,n,=a,1,+(n-1)d?,完全归纳法,不完全归纳法,模 拟 演 示,在等差数列,a,n,中，已知首项为,a,1,，公差为,d,，那么,a,1,=,a,1,=,a,1,+0,d,a,2,=,a,1,+,d,=,a,1,+1,d,a,3,=,a,2,+,d,=,a,1,+2,d,a,4,=,a,3,+,d,=,a,1,+3,d,a,n,=?,归纳,a,n,=,a,1,+(,n,1),d,数学家费马运用归纳法得出费马猜想的事例：,费马,(1601-1665),法国伟大的业余数学家。,欧拉,(1707,1783),，瑞士数学家及自然科学家。,问题情境二,:,不完全归纳法,归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法,.,归纳法,:,（,1,）,完全归纳法,：考察,全体,对象，得到一般结论的推理方法,（,2,）,不完全归纳法,:,考察,部分,对象，得到一般结论的推理方法,归纳法分为,完全归纳法,和,不完全归纳法,优点：考查全面，结论正确,;,缺点：工作量大，有些对象无法全面考查,.,优点：考查对象少，得出结论快,;,缺点：观察片面化，结论不一定正确,.,如何解决不完全归纳法存在的问题呢？,多米诺骨牌课件演示,如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？,（,1,）处理第一个问题；,（,2,）验证前一问题与后一问题有递推关系,.,（相当于能推倒第一块骨牌）,（相当于第,K,块骨牌能推倒第,K+1,块骨牌）,问题情境三,:,数学归纳法,是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。,其格式主要有两个步骤、一个结论:,（1）验证当,n,取第一个值,n,0,（,如,n,0,=1,或2等）时结论正确；,验证初始条件,（2）假设,n=k,时结论正确，在假设之下，证明,n=k+1,时结论也正确；,假设推理,（3）由（1）、（2）得出结论.,点题,找准起点,奠基要稳,用上假设,递推才真,写明结论,才算完整,一、数学归纳法定义：,例,1,、是否存在常数,a,、,b,使得等式,:,对一切正整数,n,都成立,并证明你的结论,.,解,:,令,n=1,2,并整理得,以下用数学归纳法证明,:,(1),当,n=1,时,由上面解法知结论正确,.,(1),数学归纳法证明等式问题：,二、数学归纳法应用举例：,(2),假设当,n=k,时结论正确,即,:,则当,n=k+1,时,故当,n=k+1,时,结论也正确,.,根据,(1),、,(2),知,对一切正整数,n,结论正确,.,例,2,、已知正数数列,a,n,中,前,n,项和为,s,n,且,用数学归纳法证明,:,证,:(1),当,n=1,时,=1,结论成立,.,(2),假设当,n=k,时,结论成立,即,则当,n=k+1,时,故当,n=k+1,时,结论也成立,.,根据,(1),、,(2),知,对一切正整数,n,结论都成立,.,(2),数学归纳法证明整除问题：,例,1,、用数学归纳法证明,:,当,n,为正偶数时,x,n,-y,n,能被,x+y,整除,.,证,:(1),当,n=2,时,x,2,-y,2,=(x+y)(x-y),即能被,x+y,整除,故命,题成立,.,(2),假设当,n=2k,时,命题成立,即,x,2k,-y,2k,能被,x+y,整除,.,则当,n=2k+2,时,有,都能被,x+y,整除,.,故,x,2k+2,-y,2k+2,能被,x+y,整除,即当,n=2k+2,时命题成立,.,由,(1),、,(2),知原命题对一切正偶数均成立,.,例、平面内有,n,(,n,2),条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数 为多少,?,并证明,.,当,n=k+1,时：第,k+1,条直线分别与前,k,条直线各交于,一点，共增加,k,个点，,由1）、2）可知，对一切,nN,原命题均成立。,证明：1）,n=2,时：两条直线交点个数为1,而,f(2)=,2,(2-1)=1,命题成立。,k+1,条直线交点个数=,f(k)+k=k(k-1)+k,=k(k-1+2)=k(k+1)=(k+1)(k+1)-1=f(k+1),即当,n=k+1,时命题仍成立。,2）假设,n=k(kN,k2,),时，,k,条直线交点个数为,f(k)=k(k-1),(3),数学归纳法证明几何问题：,例,1,用数学归纳法证明：如果,a,n,是一个等差数列，,则,a,n,=,a,1,+(n-1)d,对于一切,nN,*,都成立。,例题讲解,证明,:(1),当,n=1,时,左边,=a,1,右边,=a,1,+,（,1-1)d=a,1,当,n=1,时，等式成立,(2),假设当,n=k,时等式成立，即,a,k,=a,1,+(k-1)d,则当,n=k+1,时,a,k,+1,=a,k,+d,=a,1,+(k-1)d+d,=a,1,+(k+1)-1d,当,n=k+1,时，等式也成立。,由,(1),和,(2),知,等式对于任何,nN,*,都成立。,凑假设,结论,从,n=k,到,n=k+1,有什么变化,证明,:(,1),当,n,=1,时,左,1,，右,1,2,1,n,=1,时，等式成立,(2),假设,n,=,k,时，等式成立，即,1+3+5+(2,k,1)=,k,2,那么，当,n,=,k,+1,时,左,1+3+5+(2,k,1),2(,k,+1)-1,=,k,2,+2,k,+1,=(,k,+1),2,=,右,即,n,=,k,+1,时等式成立,由,(1),、,(2),可知等式对任何,n,N,*,都成立,递推基础,递推依据,例,2.,用数学归纳法证明,1+3+5+(2,n,1)=,n,2,练,习,用数学归纳法证明,:,(1),（,2,）,1+2+2,2,+2,n-1,=2,n,-1,（,3,）首项是,a,1,，公比是,q,的等比数列的通项公式是,a,n,=a,1,q,n-1,感悟与收获,(1),本节的中心内容是归纳法和数学归纳法,;,(2),归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分为完全归,纳法和不完全归纳法二种,;,(3),由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确,因而必,须作出证明，证明可用数学归纳法进行,;,(4),数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思路是递推,思想，它的操作步骤必须是二步，其中第二步的证明,必须要利用假设的结论。,今 日 作 业,课本,P,27,习题,2.1,第,4,题，第,5,题。,谢谢观赏,再见,