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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,第,5,章 离散时间傅立叶变换,The Discrete-time Fourier Transform,1.,离散时间傅立叶变换；,2.,常用信号的离散时间傅立叶变换对,;,4.,傅立叶变换的性质；,注释,:,CFS (The Continuous-Time Fourier Series):,连续时间傅立叶级数,DFS (The Discrete-Time Fourier Series):,离散时间傅立叶级数,CTFT(The Continuous-Time Fourier Transform):,连续时间傅立叶变换,DTFT(The Discrete-Time Fourier Transform):,离散时间傅立叶变换,5.0,引言,Introduction,本章将采用与讨论,CTFT,完全相同的思想方法，来研究离散时间非周期信号的频域分解问题。,DFS,与,CFS,之间既有许多类似之处，也有一些重大差别：主要是,DFS,是一个有限项级数，其系数,a,k,具有周期性。,在采用相同方法研究如何从,DFS,引出离散时间非周期信号的频域描述时，可以看到，,DTFT,与,CTFT,既有许多相类似的地方，也同时存在一些重要的,区别。,抓住它们之间的相似之处并关注其差别，对于掌握和加深对频域分析方法的理解具有重要意义。,5.1,非周期信号的表示,一,.,从,DFS,到,DTFT:,回顾：周期离散信号的,DFS,对周期信号 由,DFS,有,-5-4-3-2-1 0 1 2 4 5 8 9 10 k,Na,k,-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 n,-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 n,x,n,考察脉冲宽度不变，周期,N,增大时,Na,k,变化情况,当 时，有 ，将导致信号的频谱无限密集，最终成为连续频谱。,从时域看，,当周期信号的周期 时，,周期序列,就变成了一个非周期的序列。因此，对一个非周期信号，频谱应该是一个连续的频谱。,当 时 令,说明,:,显然,对,是以,为周期的。,DTFT,有,:,数学推导：,当 在一个周期范围内变化时，在 范围变化，所以积分区间是,。,将其与 表达式比较有,当,时,于是,:,表明,:,离散时间序列可以分解为频率在,2,区间上分布的、幅度为 的复指数分量的线性组合。,DTFT,变换对：,-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 n,x,n,-,0,2,-5-4-3-2-1 0 1 2 4 5 8 9 10 k,Na,k,-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 n,DFS,DTFT,二,.,常用信号的离散时间傅立叶变换,通常 是复函数，用它的模和相位表示,:,1.,摆动指数衰减,单调指数衰减,2.,可以得出结论,:,实偶序列,实偶函数,3.,矩形脉冲,:,当,时，可得到,:,有同样的结论,:,实偶信号,实偶函数,A.,与对应的周期信号比较,显然有,B,.,与对应的连续时间信号比较,4.,5.3,离散时间傅立叶变换的性质,DTFT,也有很多与,CTFT,类似的性质，当然也有某些明显的差别。,一、周期性,(periodic),：,比较：,这是与,CTFT,不同的。,则,若,二,.,线性,三,.,时移与频移,若,则：,时移特性,频移特性,四,.,时域反转,若,则,以下这些性质与连续时间情况下完全一致：,六,.,差分特性,DTFT,的差分性质对应于,CTFT,的微分性质,五,.,共轭对称性,若,则,1.,是实信号，则,2.,是实偶信号，则,是实偶函数,:,3.,是实奇信号，则,是虚奇函数,:,七,.,时域内插,(Interplation):,定义,为,的整数倍,其他,八,.,Parseval,定理,:,称为,的,能量谱密度函数。,比较,:,在,DFS,中有,称为周期信号的,功率谱。,5.4,卷积特性,若,则,说明：,该特性提供了对,LTI,系统进行频域分析,的理论基础。,即是,系统的频率特性,。,5.5,相乘性质,（,The Multiplication Property),由于 和 都是以 为周期的，,因此上述卷积称为,周期卷积,。,如果,则,5.9,小结,Summary,通过对,DTFT,性质的讨论，揭示了离散时间信号时域与频域特性的关系。不仅看到有许多性质在,CTFT,中都有相对应的结论，而且它们也,存在,一些重要的差别，例如,DTFT,总是以,2,为周期的。,本章与第,4,章平行地讨论了,DTFT,，讨论的基本思路和方法与第,4,章完全对应，得到的许多结论也很类似。,时域的连续性,可以看出：信号在时域的特性和在频域的特性之间存在以下对应关系：,时域的周期性,时域的离散性,时域的非周期性,频域的离散性,频域的连续性,频域的周期性,频域的非周期性,这些对应关系一定要记住,
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