立体几何中的向量方法求距离

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,立体几何中的向量方法,二：求空间距离,1. 点到平面的距离,定义：,一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做点到平面的距离。即这个点到平面垂线段的长度。,几何法：,利用定义先作出点P到平面的垂线段PO，再归结到某三角形中计算PO的长度或用等体积法。,P,O,点到平面的距离公式,P,A,如图，设P是平面,外一点，点P到,的距离为d,作PO,于O,A是内任一点,n是平面,的法向量，则,O,d,例1.,已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。,D,A,B,C,G,F,E,解,：如图所示建立空间直角坐标系,则,x,y,z,S,B,C,D,A,解：,如图所示建立空间直角坐标系,则C(1,1,0),x,y,z,练习1：,如图SA,平面ABCD,DAB=ABC=90, SA,=AB=BC=1，AD=2，求点A到平面SCD的距离。,2. 直线到平面的距离,定义：,与平面平行的直线上任一点到平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。,由以上定义可知,直线与平面的距离,本质上是点到平面的的距离,所以，计算公式还是：,P,d,A,O,如图建立直角坐标系,则B(2,2,0),练习2.,已知正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为2,M,N分别是BC和CD的中点,求直线BD与平面C,1,MN的距离.,x,y,z,解:,BD/平面C,1,MN,只需求点B与,平面C,1,MN的距离，,3. 两个平行平面的距离,和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平 面的公垂线。公垂线夹在平行平面间的部分，叫做这两个平面的公垂线段。,两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段长小于或等于任一条夹在这两平行平面间的线段长。,两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。,求两平行平面的距离，其实就是求点到平面的距离。,所以计算公式还是:,d,A,O,P,如图,正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为2，E,F,M,N分别为A,1,B,1,A,1,D,1,B,1,C,1,C,1,D,1,的中点. (1)求证：平面AEF平面BDMN; (2)求平面AEF和平面BDMN的距离.,x,y,z,O,例2.,4. 异面直线的距离,和两条异面直线都垂直相交的直线，叫做,两条异面直线的公垂线。,两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的,部分，叫做这两条异面直线的公垂线段。,两条异面直线的公垂线的,长度，叫做两条异面直线的,距离,异面直线的距离公式,如图，设CD是异面直线,a,b,的公垂线段,P是直线,a,上任意一点,A是直线,b,上任意一点, 两条异面直线的距离为,d,是与异面直线,a,b,都垂直的向量,，则,d,b,A,P,C,D,a,例3.,已知正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为1，求异面直线DA,1,与AC的距离。,A,B,D,C,A,1,B,1,C,1,D,1,x,y,z,解,：如图建立空间直角坐标系,则,A,B,C,D,M,N,x,y,z,练习3.,在长方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中AB=4,AD=3,AA,1,=2,M,N分别为CD,BB,1,的中点,求异面直线MN与A,1,B的距离.,5.点与直线的距离,定义：,从直线外一点P向直线 引垂线，点P和垂足O之间的距离叫做点P到直线 的距离。,d,P,A,O,设A是 上不同于垂足O的一点， 是 的方向向量，则,点与线的距离的计算方法较多，下面介绍一种。,例4：,三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直，且PA=PB=3，PC=6，D是PC的中点，G是ABC的重心，求G到直线AD的距离。,A,B,C,x,y,z,p,G,D,解:如图建立空间直角坐标系，由重心坐标公式得G（1,1,2），,小结：,1：空间距离包括点与点、点与线、点与面，线与线（平行或异面）、线与面、面与面六种形式。但可化归为点与点、点与线、点与面、线与线（异面）四种形式。,2：点与面、线与面、面与面、线与线（异面）有统一形式的计算公式,补充.,如图,已知一个结晶体的形状为平行六面ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,其中,以顶点为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60,0,那么,以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？,教P106 思考,