2.4内积空间的标准正交基(精品)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.4,内积空间的标准正交基,2.4.1,标准正交集,定义,2.4.1,（标准正交集）设,X,为一,内积空间，,M,含于,X,，若,M,中的所有元素,之间是两两正交的，就称,M,为一正交集；,再若,M,中每个元素的范数都是,1,，称,M,为,标准正交集。,标准正交集的性质：,（,1,）任何标准正交集都是线性无关的。,（,2,）若（,e,1,e,2,e,n,）是标准正交序列，则每一个,x,Spane,1,e,2,e,n,都可以唯一的表示为,(3),对于任何线性无关的序列（,x,i,），可以,应用格拉姆,-,施密特标准正交化方法得到,一个标准正交序列（,e,i,），使得对每一个,n,属于,N,都有,Spane,1,e,2,e,n,=Spanx,1,x,2,x,n,2.4.2,内积空间的标准正交系,定义,2.4.3,（傅里叶级数）,设（,e,n,）是内积空间,X,中的一个标准正交系，任给,x,X,，则称级数,为矢量,x,关于正交系（,e,n,）的傅里叶级数，,称为,x,关于,e,n,的傅里叶系数。,定理,2.4.4,设,e,n,是,X,中的标准正交集，,M,是由,e,n,中,m,个矢量张成的线性子空间，,即,M=Spane,1,e,2,e,m,，对任意的,x,X,，级数,是,x,在,M,上的正交投影。,而且有：,定理,2.4.5,若（,e,n,）是内积空间,X,（无穷维,的）的标准正交系，,x,X,，则有下列贝,塞尔不等式成立：,定理,2.4.6,若（,e,n,）是内积空间,X,的标准,正交系，,M=Span e,1,e,2,e,n,，,x,X,，对任意的,m,维数组（,1,2,n,）有,2.4.3,内积空间的标准正交基,定义,2.4.7,（内积空间的完全标准正交系或标准正交基）,在内积空间,X,中的标准正交系（,e,n,）被称作是完全的，是指,X,中不存在与所有,e,n,正交的非零元素。,定理,2.4.8,设（,e,n,）是希尔伯特空间,X,中的标准正交系，,x,X,，则等式,成立的充要条件是：（,e,n,）是完全的。,上式也称为帕塞法耳等式。,定理,2.4.9,如果（,e,n,）是希尔伯特空间,X,中的标准正交基，则任意的,x,X,都可以,表示为,定义（完备的）设（,e,n,）是内积空间,X,中的标准正交系，如果对于每一个,x,X,，,帕塞法耳等式,恒成立，则称（,e,n,）是,完备的,。,定理 设（,e,n,）是希尔伯特空间,X,中的一个规范（标准）正交系，则下列性质等价：,（,1,）（,e,n,）是完备的；,（,2,）（,e,n,）是完全的；,（,3,）对于,X,中任一元素,x,，级数,在,X,中收敛于,x,；,（,4,）对,X,中任意两个元素,x,，,y,有,2.4.4,常用标准正交基举例,1,、勒让德多项式,通项：,另外，拉普拉斯方程在求坐标系下分离变量,得到勒让德方程,为勒让德多项式的级数表示,注意到,故可方便地得出前几个勒让德多项式,:,勒让德多项式的图形可通过计算机绘图,(,如,MATLAB),得到,当,时满足,3,、拉盖尔多项式,氢原子的定态薛定谔方程,分离变量，得到,