平面向量的线性运算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,平面向量的线性运算,向量的加法运算,台北,香港,上海,从运动的合成看向量运算,在大陆和台湾没有直航之前，台湾同胞要到上海探亲，得乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，那么这两次位移之和是什么？,A,B,C,位移,F,1,F,2,F,E,O,O,E,F,1,+F,2,=F,从力的合成看向量运算,橡皮条在力F,1,与F,2,的作用下，从E点伸长到了O点；同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.,问:合力F与力F,1,、F,2,有怎样的关系？,F,1,F,2,F,F是以F,1,与F,2,为邻边所形成的,平行四边形的对角线,A,B,C,向量的加法运算,运动的合成,力的合成,F,1,F,2,F,F,1,+F,2,=F,数的加法启发我们，从运算的角度看，,AC,可以认为是,AB,与,BC,的和，,F,可以认为是,F,1,与,F,2,的和，即位移、力的合成可以看作向量的加法。,向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法,向量的加法法则,：三角形法则、平行四边形法则,o,A,B,C,力的合成可以看作向量加法的,平行四边形法则的物理模型,C,A,B,向量加法法则,位移的合成可以看作向量,加法三角形法则的物理模型,向量加法法则总结与拓展,向量加法的三角形法则:,1.将向量平移使得它们,首尾相连,2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾,向量加法的平行四边形法则:,1.将向量平移到,同一起点,2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线,三角形法则推广为多边形法则：,探究一：当向量共线时，如何相加？,A,B,C,(1)同向,(2)反向,A,B,C,探究二：向量的加法是否具备交换律和结合律？,数的加法满足交换律与结合律，即对任意,a,，,b,R，有,a,+,b,=,b,+,a,，(,a,+,b,)+,c,=,a,+(,b,+,c,),向量的加法具备吗？你能否画图解释？,向量加法满足交换律和结合律：,以上两个运算律可以,推广,到任意多个向量.,课本例题长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h.(1)用向量表示江水速度、船速、船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小和方向.,类似题某人在静水中游泳速度为 千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳，必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向向前进？实际前进的速度为多少？,练习：化简,完成课本84页练习,平面向量的线性运算,向量的减法运算,预备知识：相反向量,类比实数的相反数的概率，定义相反向量：,与,a,长度,相等，,方向相反,的向量，叫做,a,的相反向量，记作,-,a,;,-,a,与,a,互为相反向量,规定：零向量的相反向量仍是零向量,所以,:1,、,-,(,-,a,)=,a,；,2,、,a,+(,-,a,)=(,-,a,)+,a,=0,；,3,、,a,=,-,b,，,b,=,-,a,，,a,+,b,=0,向量的减法：,a,-,b,=,a,+(,-,b,)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量,向量减法法则,要点,:1.,平移到,同一起点,；2.,指向,被减向量.,A,B,O,A,B,O,探究三：当向量共线时，如何相减？,(1)同向,(2)反向,探究四：平行四边形法则的两条对角线,A,D,C,B,探究五：向量的三角形不等式,探究六：向量加减法与平行四边形形状,完成课本87页练习,平面向量的线性运算,向量数乘运算,a,a,a,A,B,C,O,a,-a,-a,-a,P,Q,M,N,向量的数乘运算的定义,你能说出向量数乘运算的几何意义吗？,数乘向量运算律,向量的加、减、数乘运算统称向量的,线性运算,.,第一分配律,第二分配律,数乘结合律,1.如何证明？,2.如何解释运算律的几何意义，尤其是(3)？,概念辨析,线性运算练习,完成课本90页练习25,平面向量共线定理,共线定理,定理的应用：,证明 向量共线,证明 三点共线:,证明 两直线平行:,A,B,C,O,探究：,探究：,证明几何问题,