7.4 Dirac符号

量子力学教程,(,第二版,),7.4,Dirac,符号,7.4.1,左矢,(bra),和右矢,(,ket,),Dirac,符号的优点,1.,毋需采用具体表象,2.,运算简捷,Hilbert,空间：由量子体系的一切可能状态构成,.,在这个空间中，态用右矢,表示，一般写为,也可以在右矢内填上相应的量子数或本征值来表示,相应的态，如,7.4,Dirac,符号,分别表示坐标、动量和能量算符的本征态,.,表示角动量算符,的共同本征态,.,左矢如,等,则是上述右矢的共轭态矢,.,7.4.2,标积,而,定义两个态矢,和,的标积,的形式为,若满足,则称,与,正交。,若满足,则称,为归一化态矢。,若力学量完全集,F,的本征态,(,离散,),记为,则其正交归一性可写为,对连续谱，比如坐标算符的本征态的正交归一性可写为,而动量算符的本征态的正交归一性可写为,7.4.3,态矢在具体表象中的表示,1.,离散,谱的情况,展开系数,在,它是,上的投影,.,用列矢表示为,可用 展开，即,在,F,表象中,(,基矢记为,),任意态矢量,(4),式代入,(3),式,得,表示，即,是一个投影算符，用,(5),式中,式,(5),中 是任意的,因此,我们称算符,I,为单位算符，这是基矢完备性的表现，,通过以后的学习会发现它有着非常重要的意义,.,2.,连续谱的情况,在这种情况下,上述的求和要用积分代替,.,比如：,运算后，就得到态矢,它对任何态矢,在基矢,方向上的分量矢量,3.,两个态矢之间的标积写法,在,F,表象中，两个态矢,和,之间的标积可如下计算：,7.4.4,算符在具体表象中的表示,在,F,表象中，,的矩阵元是,(11),左乘,得,设态矢 经算符 的作用后变成态矢,即,即,在,F,表象中的表示为,即,力学量,L,的本征方程,基矢 方向的投影,.,是 在,F,表象的,分别是态矢,在,F,表象中的表示,式,(15),写成矩阵的形式，有,7.4.5,Schrdinger,方程,Schrdinger,方程可写为,在,F,表象中表示如下：,即,的平均值用,Dirac,符号表示为,在,态下，,7.4.6,表象变换,1.,态的表象变换,态,在,F,表象中用,描述,，,在,F,表象中用,描述，,则此两个表示之间的关系可由下式给出,(,利用,(8),式,),即,式中,是从,F,F,表象的变换，,描述两个表象的基矢之间的关系。,写成矩阵的形式，有,可以简写成,其中,S,为么正矩阵，即满足,下面用,Dirac,符号来证明上式,证明：在,F,表象中,同理可证,2.,算符的表象变换,算符,在,F,表象中的矩阵元为,在,F,表象中的矩阵元为,而,写成矩阵的形式是,分别为,在,F,和,F,表象中的矩阵,以下讨论连续谱表象，特别是坐标表象和动量表象,(1),在,x,表象中,x,的矩阵元很容易写出,本征方程为,本征态的正交归一关系为,任一量子态,在,x,表象中表示为,通常记为,在,x,表象中，坐标本征态（本征值为,x,）表示为,而动量本征态,(,本征值为,p,),表示为,类似可以给出动量的本征方程和本征态的正交归一关系为,在动量表象中，动量本征态,(,本征值为,p,),表示为,坐标本征态,(,本征值为,x,),表示为,(2),坐标表象与动量表象的变换,在坐标表象中，力学量的“矩阵”表示如下，,例如，坐标,x,矩阵表示为,而动量,p,的“矩阵”表示为,与此类似,可计算出,在动量表象中动量的“矩阵”表示,而坐标,x,的“矩阵”表示为,3.,力学量在不同表象中的平均值,在量子态,下,(,设已归一化,),力学量的平均值可如下求之,例：求势能,V,(,x,),和动能,在,x,和,p,表象中的平均值,解：,在,x,表象中,在,p,表象中,设粒子在势场,V,(,x,),中运动，,则,Schrdinger,方程为,4.,Schrdinger,方程,在不同表象中的表示,在,x,表象中的表示，可如下求之。用,左乘（,45,）式,取标积，得,即,在,p,表象中，用,左乘（,45,）式得,