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第一章 静 电 场,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 静 电 场,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第三章 曲面坐标系,*,第三章 曲面坐标系,1,亥姆霍兹定理,3,球面坐标系,2,圆柱坐标系,第三章 曲面坐标系,1,亥姆霍兹定理,一、散度和旋度的比较,矢量场的散度是一个,标量函数,而矢量场的旋度是一个,矢,量函数,。,散度表示场中某点的通量源的体密度,它是场中任一点通,量源强度的量度,;,旋度表示场中某点的最大环量强度,它,是场中任一点处旋涡源强度的量度（即旋涡源的面密,度）。,第三章 曲面坐标系,1,亥姆霍兹定理,(3),从散度公式知,它取决于场分量,A,x,对,x,的偏导数和,A,y,对,y,的偏导数及,A,z,对,z,的偏导数,所以,散度由各场分量沿各自方向上的变化率来决定,;,而由旋度公式看出,它取决于,A,x,分量对,y,z,的偏导数及,A,y,A,z,对与之垂直方向的坐标变量的偏导数,所以,旋度由各场分量在与之正交方向上的变化率来决定。,第三章 曲面坐标系,1,亥姆霍兹定理,二、亥姆霍兹定理,亥姆霍兹定理的简化表述如下,:,若矢量场 在无限空间中处处单值,且其导数连续有界,而源分布在有限区域中,则矢量场由其散度和旋度以及边界条件唯一地确定。,并且,它可,表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和,即,已知,矢量,的通量源密度,矢量,的环量源密度（矢量,唯一地确定）,场域边界条件 在电磁场中,电荷密度,电流密度,场域边界条件,亥姆霍兹定理的意义：是研究电磁场的一条主线。,第三章 曲面坐标系,1,亥姆霍兹定理,对两边取散度,得,因,故,因,故,对两边取旋度,得,简化的证明如下,:,假设在无限空间中有二矢量函数 和,它们具有相同的散度和旋度。令,所以,第三章 曲面坐标系,1,亥姆霍兹定理,同时,一个既有散度又有旋度的一般矢量场可表示为一个无旋场,(,有散度,divergence),和一个无散场,(,有旋度,curl),之和,:,对无旋场 来说,但这个场的散度不会处处为零。因为,任何一个物理场必然有源来激发它,若这个场的旋涡源和通量源都是零,这个场就不会存在了。因此无旋场必然对应于有散场,并因,可令,(,负号是人为加的,),：,第三章 曲面坐标系,1,亥姆霍兹定理,对于无散场,但是这个场的旋度不会处处为零,理由同上。并因,可令,因此,第三章 曲面坐标系,2,曲面坐标,柱坐标系,一、圆柱坐标系,圆柱坐标中的点：,与直角坐标系中的关系：,第三章 曲面坐标系,2,曲面坐标,柱坐标系,矢量 在柱坐标系中可用三个分量表示为,以坐标原点为起点,指向 点的矢量,称为 点的位置矢量或矢径。在柱坐标系中 点的位置矢量是,第三章 曲面坐标系,2,曲面坐标,柱坐标系中的矢量 与直角坐标系 之间的关系表,.,第三章 曲面坐标系,2,曲面坐标,例,1,求矢量 在柱面坐标系中的表示式,.,解,在柱面坐标系中,:,由表知,:,于是有,第三章 曲面坐标系,2,曲面坐标,在柱坐标中,算子相应地换为,梯度,散度,旋度,第三章 曲面坐标系,2,曲面坐标,例,2,已知,.,求,于是有,解,在柱面坐标系中由,:,第三章 曲面坐标系,2,曲面坐标,例,3,电场中有一半径为 的圆柱体，已知柱外的电位函数分别为,解,在圆柱坐标系中由,求柱外的电场强度,有,第三章 曲面坐标系,2,曲面坐标,球面坐标系,二、球面坐标系,球面坐标中的点：,与直角坐标系中的关系：,第三章 曲面坐标系,2,曲面坐标,球面坐标系,矢量 在柱坐标系中可用三个分量表示为,第三章 曲面坐标系,2,曲面坐标,球面坐标系中的矢量 与直角坐标系 之间的关系表,.,第三章 曲面坐标系,2,曲面坐标,在球面坐标中,算子相应地换为,梯度,散度,旋度,第三章 曲面坐标系,2,曲面坐标,例,5,有一个半径为 薄导体球内充满总电荷为 的体电荷,球壳上又充有电荷量,.,已知球内部的电场强度为,解,在球面坐标系中由,求,有,第三章 曲面坐标系,
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