重点难点重点：①函数单调性的定义②函数的最大(小)值

单击此处编辑母版文本样式,走向高考,高考总复习,数学,(,配人教 版,),第二章 函数,首页,上页,下页,末页,B,重点难点,重点：,函数单调性的定义,函数的最大,(,小,),值,难点：,函数单调性的证明,求复合函数单调区间,知识归纳,一、单调性定义,1,单调性定义：设函数,f,(,x,),的定义域为,I,，区间,D,I,，若对于任意的,x,1,，,x,2,D,，当,x,1,x,2,时，都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，则,f,(,x,),为区间,D,上的增函数对于任意的,x,1,，,x,2,D,，当,x,1,f,(,x,2,),，则,f,(,x,),为区间,D,上的减函数,2,证明函数的单调性一般从定义入手，也可以用导数证明,(1),利用定义证明函数单调性的一般步骤是：,任取,x,1,、,x,2,D,，且,x,1,0,，则,f,(,x,),在区间,D,内为增函数；如果,f,(,x,)0,，则,f,(,x,),在区间,D,内为减函数,二、单调性的有关结论,1,若,f,(,x,),，,g,(,x,),均为增,(,减,),函数，则,f,(,x,),g,(,x,),仍为增,(,减,),函数,3,互为反函数的两个函数有相同的单调性,4,y,f,g,(,x,),是定义在,M,上的函数，若,f,(,x,),与,g,(,x,),的单调性相同，则其复合函数,f,g,(,x,),为增函数；若,f,(,x,),、,g,(,x,),的单调性相反，则其复合函数,f,g,(,x,),为减函数,5,奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,三、函数单调性的应用有：,(1),比较函数值或自变量值的大小,(2),求某些函数的值域或最值,(3),解证不等式,(4),作函数图象,四、函数的最大,(,小,),值：,1,定义：一般地，设函数,y,f,(,x,),定义域为,，如果存在实数,M,满足：,(1),对任意,x,，都有,f,(,x,),M,(,或,f,(,x,),M,),；,(2),存在,x,0,使得,f,(,x,0,),M,.,称,M,是函数,y,f,(,x,),的最大,(,或最小,),值,2,求法：,(1),配方法，,(2),判别式法，,(3),基本不等式法，,(4),换元法，,(5),数形结合法，,(6),单调性法，,(7),导数法,误区警示,1,对于函数单调性定义的理解，要注意以下三点,(1),函数的单调性是对某一个区间而言的,f,(,x,),在区间,A,与,B,上都是增,(,或减,),函数，在,A,B,上不一定单调,(2),单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中的,x,1,，,x,2,在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替,(3),由于定义都是充要性命题，因此若,f,(,x,),是增,(,或减,),函数，则,f,(,x,1,),f,(,x,2,),x,1,x,2,),2,在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域,一、利用复合函数的单调性解题,对于复合函数,y,f,g,(,x,),，若,t,g,(,x,),在区间,(,a,，,b,),上是单调增,(,减,),函数，且,y,f,(,t,),在区间,(,g,(,a,),，,g,(,b,),或者,(,g,(,b,),，,g,(,a,),上是单调函数，那么函数,y,f,g,(,x,),在区间,(,a,，,b,),上的单调性由以下表格所示，实施该法则时首先应考虑函数的定义域,.,t,g,(,x,),y,f,(,t,),y,f,g,(,x,),增,增,增,增,减,减,减,增,减,减,减,增,证明：,函数,f,(,x,),在,(,1,，,),上为增函数,分析：,证明函数的单调性可以用定义证明，也可以用导数证明本例证明,f,(,x,),在,(,1,，,),上单调递增，用导数证，只须证明,f,(,x,),0,在,(,1,，,),上恒成立，用定义证，由于,f,(,x,),有两个不同类型的项，作差后可分别处理讨论符号,证明：,方法,1,：任取,x,1,、,x,2,(,1,，,),，,不妨设,x,1,0,，,ax,2,x,1,1,且,ax,1,0,，,ax,2,ax,1,ax,1,(,ax,2,x,1,1)0,，,又,x,1,10,，,x,2,10,，,答案：,C,答案：,(,1,1),A,b,a,c,B,c,b,a,C,b,c,a,D,a,b,0,，则,f,(,x,),的定义域是,_,；,(2),若,f,(,x,),在区间,(0,1,上是减函数，则实数,a,的取值范围是,_,(2),首先,0,a,1,时，,a,10,3,ax,为减函数，,f,(,x,),在其定义域上为增函数，,其次,a,0,时，,a,10,3,ax,为增函数，,f,(,x,),在其定义域上为减函数，,(1),判断并证明,f,(,x,),在,R,上的单调性；,(2),求,f,(,x,),在,3,3,上的最值,解析：,(1),f,(,x,),在,R,上是单调递减函数,证明如下：,令,x,y,0,，,f,(0),0,，令,y,x,可得：,f,(,x,),f,(,x,),，,在,R,上任取,x,1,、,x,2,且,x,1,0,，,f,(,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,2,x,1,),又,x,0,时，,f,(,x,)0,，,f,(,x,2,x,1,)0,，即,f,(,x,2,)0,时，,f,(,x,)1,，且对任意的,a,，,b,R,，有,f,(,a,b,),f,(,a,),f,(,b,),(,1),证明：,f,(0),1,；,(2),证明：对任意的,x,R,，恒有,f,(,x,)0,；,(3),证明：,f,(,x,),是,R,上的增函数；,(4),若,f,(,x,),f,(2,x,x,2,)1,，求,x,的取值范围,解析：,(1,),证明：令,a,b,0,，则,f,(0),f,2,(0),又,f,(0),0,，,f,(0),1.,(2),证明：当,x,0,时，,x,0,，,f,(0),f,(,x,),f,(,x,),1.,x,R,时，恒有,f,(,x,),0.,(3),证明：设,x,1,x,2,，则,x,2,x,1,0.,f,(,x,2,),f,(,x,2,x,1,x,1,),f,(,x,2,x,1,),f,(,x,1,),x,2,x,1,0,，,f,(,x,2,x,1,),1,又,f,(,x,1,),0,，,f,(,x,2,x,1,),f,(,x,1,),f,(,x,1,),f,(,x,2,),f,(,x,1,),，,f,(,x,),是,R,上的增函数,(4),由,f,(,x,),f,(2,x,x,2,),1,，,f,(0),1,得,f,(3,x,x,2,),f,(0),又,f,(,x,),是,R,上的增函数，,3,x,x,2,0,，,0,x,3.,(2),赋值法是解决抽象函数问题的有效方法，由所给函数关系式在某个范围内恒成立，结合条件和待求问题，恰当赋值是关键一步,(09,陕西,),定义在,R,上的偶函数,f,(,x,),满足：对任意的,x,1,，,x,2,(,，,0(,x,1,x,2,),，有,(,x,2,x,1,)(,f,(,x,2,),f,(,x,1,)0,，则当,n,N,*,时，有,(,),A,f,(,n,),f,(,n,1),f,(,n,1),B,f,(,n,1),f,(,n,),f,(,n,1),C,f,(,n,1),f,(,n,),f,(,n,1),D,f,(,n,1),f,(,n,1)0,得,f,(,x,),在,(,，,0,上为增函数,又,f,(,x,),为偶函数，所以,f,(,x,),在,0,，,),上为减函数,又,f,(,n,),f,(,n,),且,0,n,1,n,n,1,，,f,(,n,1),f,(,n,),f,(,n,1),，,即,f,(,n,1),f,(,n,)1,时，,f,(,x,),在,0,1,上为增函数，最小值,f,(0),，最大值,f,(1),；,0,a,1,时，,f,(,x,),在,0,1,上为减函数，最小值,f,(1),，最大值,f,(0),，,据题设有：,f,(0),f,(1),a,，,答案：,B,答案：,1,m,3,由,f,(,x,),0,得，,x,1.,因为当,x,0,时，,f,(,x,)0,；当,0,x,1,时，,f,(,x,)1,时，,f,(,x,)0,；所以,f,(,x,),的单调增区间是,1,，,),；单调减区间是,(,，,0),和,(0,1,(2010,安徽,),设函数,f,(,x,),sin,x,cos,x,x,1,0,x,2,，求函数,f,(,x,),的单调区间与极值,答案,A,答案,B,答案,B,4,(,文,)(09,福建,),定义在,R,上的偶函数,f,(,x,),的部分图象如图所示，则在,(,2,0),上，下列函数中与,f,(,x,),的单调性不同的是,(,),A,y,x,2,1 B,y,|,x,|,1,答案,C,解析,f,(,x,),为偶函数，由图象知，,f,(,x,),在,(,2,0),上为减函数，而,y,x,3,1,在,(,2,0),上为增函数故选,C.,(,理,)(09,山东,),已知定义在,R,上的奇函数,f,(,x,),满足,f,(,x,4),f,(,x,),，且在区间,0,2,上是增函数，则,(,),A,f,(,25),f,(11),f,(80),B,f,(80),f,(11),f,(,25),C,f,(11),f,(80),f,(,25),D,f,(,25),f,(80)0,，,f,(,x,),在,2,0,上也是增函数，且,f,(,x,)0,，且,f,(,x,),为减函数,同理，,f,(,x,),在,4,6,上为减函数，且,f,(,x,)0.,如图,f,(,25),f,(,1)0,，,f,(80),f,(0),0,，,f,(,25),f,(80)0,，所以当,x,2,时，,f,(,x,)0,；,当,0,x,2,时，,f,(,x,)0,时原方程有唯一解，所以函数,y,h,(,x,),与,y,m,的图象在,y,轴右侧有唯一的交点,所以当,x,4,时，,h,(,x,)0,；当,0,x,4,时，,h,(,x,)0,时原方程有唯一解的充要条件是,m,h,(4),16ln2,24.,