8-2第二型曲线积分

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.,第二型曲线积分的概念,实例,:,变力沿曲线所作的功,8-2,第二型曲线积分,设一质点受如下变力作用,在,xoy,平面内从点,A,沿光滑曲线弧,L,移动到点,B,求移,动过程中变力所作的功,W,.,“,分割”,“,近似代替”,“,求和”,“,取极限”,变力沿直线所作的功,解决办法,:,1),“,分割,”,.,2),“,近似代替,”,把,L,分成,n,个小弧段,所做的功为,F,沿,则,有向小弧段,近似代替,则有,用有向线段,上任取一点,在,3),“,求和,”,4),“,取极限,”,定义,的一条有向分段光滑曲,线,到点,是从点,设,B,A,L,对坐标,y,的曲线积分,存在条件：,组合形式,.,j,dy,i,dx,dr,j,Q,i,P,F,r,r,r,r,r,+,=,+,=,其中,推广,第二型曲线积分的,性质,即,:,对坐标的曲线积分,与,曲线的方向,有关,.,2.,第二型曲线积分的计算,定理,1,证明,:,下面先证,根据定义,如果,注,:,第二型曲线积分与曲线给定的方向有关,在化为关于参数的定积分时,定积分的下限和上限应分别对应于曲线的起点和终点,即,:,下限不一定小于上限,.,例,1,计算曲线积分,解,例,2.,计算,其中,L,为,(1),抛物线,(2),抛物线,(3),有向折线,解,:,(1),原式,(2),原式,(3),原式,例,2,说明，对于有些第二型曲线积分，其积分值只与起点及终点有关，而与积分路径的选取无关,.,解,C,的参数方程为,例,3,计算,说明：当积分曲线为,Oxy,平面上的一条闭曲线时，通常规定逆时针方向为闭曲线的正向,.,例,4,求空间第二型曲线积分,其中,L,为椭圆周,积分方向如图所示,解,L,的参数方程为,曲线的切向量是,也是切向量,且其方向与积分路径的方向一致,又 的模正好是弧微分,设 的方向余弦为,第一型与第二型曲线积分之间的关系,:,设,即,对于平面曲线,:,处的,单位切向量,称为有向曲线元,习题,8-1 2.4.6.11.,习题,8-2 1.2.5.7.9.12.14.,