第2章 人寿保险的趸缴纯保费

中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,第,2,章人寿保险的趸缴纯保费,【,考试内容,】,2.1,离散型人寿保险模型,死亡保险,n,年两全保险,延期寿险,非均衡给付保险,换算函数,2.2,连续型人寿保险模型,死亡保险,两全保险,延期寿险,非均衡给付保险,趸缴纯保费的换算函数表示式,2.3,死亡均匀分布假设下的寿险模型,与,A,x,之间的关系,2.4,递推方程式,离散型终身寿险趸缴保费的递推方程式,连续性终身寿险趸缴保费的微分方程式,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,【,引言,】,一、寿险保费的概念,自然保费、趸缴保费、均衡保费,二、保费计算原理,收支平衡原理，纯保费需要两个要素,死亡率、利率，总保费则还需要一个要素,费用率。,三、寿险的类型（寿险又分为死亡保险和生存保险）,连续型、离散型、半连续型。,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,【,要点详解,】,2.1,离散型人寿保险模型,离散型人寿保险模型,：以离散型未来寿命,K,(,x,),为基础，保险金是在被保险人死亡所处的保单年度末支付而建立的各种人寿保险的数学模型。,本节研究,前提,：,假设被保险人在投保（或签单）时的年龄为,x,岁，其未来寿命整年数为,K,(,x,),，则其,概率分布列,为：,Pr(,K,(,x,)=,k,)=,k,|,q,x,=,k,p,x,q,x,+,k,（,k,=0,，,1,，,2,，,）,假设保险金额在,K,(,x,)+1,处给付，给付数额为,b,k+,1,元，记,v,k+,1,为在,K,(,x,)+1,处给付一个单位保险金在签单时的利息贴现系数，,Z,为给付保险金额在签单时的,现值,，则,Z=b,K+,1,v,K+,1,（,K,=0,，,1,，,2,，,）,在离散型人寿保险模型下，现值随机变量,Z,的期望为：,现值随机变量,Z,的,期望值,E,(,Z,),称为,趸缴纯保费,。,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,1,死亡保险,（,n,年定期保险、终身寿险）,（,1,）,n,年定期死亡保险（趸缴纯保费记为 ）,设年龄为,x,岁的人，投保或签约的保险金额为,1,个单位，即,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,【,例题,2.1,】,（,2008,年春季真题）,30,岁的人购买两年期定期保险，保险金在被保险人死亡的年末给付，保单年度,t,的保额为,b,t,，已知条件为：,q,30,=0.1,，,b,2,=,10,b,1,，,q,31,=0.6,，,i,=0,，,Z,表示给付现值随机变量，则使得,Var,(,Z,),最小的,b,1,的值为（）。,A,0.0,B,5.0,C,6.8,D,8.6,E,8.9,【,答案,】,C,【,解析,】,i,=0,，则,v,=1,，故,所以当,b,1,=6.048/(20.4464)=6.8,时，,Var,(,Z,),最小。,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,（,2,）终身寿险（趸缴纯保费记为 ）,n,年定期死亡保险中，令,n,得终身寿险的趸缴纯保费为：,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,【,例题,2.2,】,50,岁的人投保保额为,1,的终身死亡保险，设年利息力为常数,0.06,，死亡服从,De,Moivre,假设，,=100,，则保额在保单生效时的精算现值为（）。,A,0.1072,B,0.3073,C,0.5074,D,0.5075,E,0.6076,【,答案,】,B,【,解析,】,在,De,Moivre,假设下，有：,所以保额在保单生效时的精算现值为：,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,2,n,年两全保险（由,n,年生存保险和,n,年定期寿险组成）,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,【,例题,2.3,】,已知：,l,x,=100,x,，,0,x,100,，,i,=0.06,。则,=,（）。,A,0.578,B,0.581,C,0.583,D,0.584,E,0.586,【,答案,】,D,【,解析,】,已知,i,=0.06,，则,v,=1/(1+,i,)=1/1.06,，故,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,3,延期寿险,延期寿险，即保单签发后的若干年后才提供保障，假设,(,x,),投保离散型的延期,h,年的保险金额为,1,个单位的寿险。,（,1,）延期,h,年的,n,年定期寿险（趸缴纯保费记为 ）,（,2,）延期,h,年的终身寿险（趸缴纯保费记为 ）,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,（,3,）延期,h,年的,n,年两全保险（趸缴纯保费记为 ）,【,例题,2.4,】,A,0.06,B,0.08,C,0.10,D,0.12,E,0.14,【答案】,C,【,解析,】,由已知，有,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,【,例题,2.5,】,(25),有一份终身寿险，提供如下保障：,（,1,）死亡保险金在死亡发生的年末支付，并且在,65,岁之前为,20000,元，在其后为,10000,元；,（,2,）若其在,65,岁时仍然活着，则退回趸缴纯保费（不带利息）；,（,3,）,A,25,=0.10,，,A,65,=0.2,，,40,p,25,=0.8,，,v,40,=0.2,。,则该保险的趸缴纯保费为（）元。,A,1700,B,800,C,1900,D,2000,E,2100,【,答案,】,D,【,解析,】,设,P,为趸缴纯保费，,Z,为死亡给付现值随机变量，则该,(25),的趸缴纯保费可以看作一个给付,20000,元的终身寿险，减去一个给付,10000,元的,40,年延期终身寿险，加上一个,65,岁时的生存保险，即,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,4,非均衡给付保险,（,1,）递增的,n,年定期寿险（趸缴纯保费记为 ）,原理：,若被保险人在第,k,+1,个保单年度内死亡，则给付（,k,+1,）的保险金（,k,=0,，,1,，,2,，,，,n,1,）。,（,2,）递增的终身寿险（趸缴纯保费记为 ）,原理：,若被保险人在第,k,+1,个保单年度内死亡，则给付（,k,+1,）的保险金（,k,=0,，,1,，,2,，,）。,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,【,例题,2.6,】,（,2008,年春季真题）,A,3.81,B,3.88,C,3.94,D,4.01,E,4.12,【,答案,】,A,【,解析,】,由已知，有,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,【,例题,2.7,】,一份保险若（,80,）在第,k,1,年死亡，,k,=0,，,1,，,2,，,，则在其死亡年末支付,k,1,。假设,v,=0.925,；且若,q,80,=0.1,，则该保险的趸缴纯保费为,4,。那么当,q,80,=0.2,时，该保险的趸缴纯保费为（）。,A,0.56,B,1.58,C,2.62,D,3.66,E,4.76,【,答案,】,D,【,解析,】,由已知，有,原趸缴纯保费为：,vq,80,+2,v,2,p,80,q,81,+3v,3,p,80,1|,q,81,+4,v,4,p,80,2|,q,81,+,=,vq,80,+p,80,(2,v,2,q,81,+3,v,3,1|,q,81,+4,v,4,2|,q,81,+),=4,当,q,80,由,0.1,变为,0.2,时，新的趸缴纯保费为：,2,vq,80,+(1,2,q,80,)(2,v,2,q,81,+3,v,3,1|,q,81,+4,v,4,2|,q,81,+),=2,vq,80,+(1,2,q,80,)(4,vq,80,)/,p,80,=20.9250.1,(1,20.1)(4,0.9250.1)/0.9,=3.66,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,（,3,）递减的,n,年定期寿险（趸缴纯保费记为 ）,原理：,若被保险人在第,k,个保单年度内死亡，则给付（,n,k,）的保险金（,k,=0,，,1,，,2,，,，,n,1,）。,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,【,例题,2.8,】,对于（,60,）购买的,20,年期递减的定期寿险，已知,i,=0.06,，当,q,60,=0.3,时，该险种的趸缴保费为,13,元；当,q,60,=0.2,时，设该险种的趸缴保费为,P,。且除,60,岁外，其余年龄的生存状况没有任何改变。则,P,=,（）。,A,12.1,B,13.1,C,14.1,D,15.9,E,16.1,【,答案,】,A,【,解析,】,当,q,60,=0.3,时，有：,故当,q,60,=0.2,时，,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,5,换算函数,换算函数的性质,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,各种寿险的趸缴纯保费换算关系式：,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,【,例题,2.9,】,小张为现年,60,岁的母亲购买了一份终身寿险保单，保单利益为：若被保险人在保险期第一年内死亡，则在年末给付保险金,7000,元；若在第二年内死亡，则在年末给付保险金,7100,元，即在以后，死亡时间每推迟一年，保险金额增加,100,元。已知,i,=2%,，,M,60,=184.857509,，,D,60,=274.336777,，,R,60,=3538.387666,。则这种寿险的趸缴纯保费为（）元。,A,5939,B,6012,C,6120,D,6230,E,6328,【,答案,】,A,【,解析,】,此寿险可分解为两部分，一部分为给付保险金不变的寿险，不论被保险人什么时候死亡保险金给付都是,6900,元，另一部分为变额寿险，保险金的给付按死亡时间推移，每年递增,100,元，则这种寿险的趸缴纯保费为：,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,2.2,连续型人寿保险,连续型人寿保险模型,：以未来寿命,T,(,x,),为基础，保险金在被保险人死亡时立刻给付而建立的各种人寿保险的数学模型；,研究前提：,假设被保险人在投保（或签单）时的年龄为,x,岁，保险金在被保险人未来寿命,T,=,T,(,x,),时的给付金额为,b,t,，,v,t,为在时刻,t,时给付,1,个单位金额在签单时的利息贴现系数，,Z,T,为给付金额在签单时的现值，则,现值随机变量,：,Z,T,=,b,T,v,T,。,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,1,死亡保险,（,n,年定期保险、终身寿险）,（,1,）,n,年定期死亡保险（趸缴纯保费记为 ）,对于,(,x,),投保连续型的保险金额为,1,单位的,n,年定期寿险，其有关函数为：,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,【,例题,2.10,】,现年,30,岁的王先生购买了保额为,1,的,20,年期的连续型定期寿险，已知生存函数为：,s,(,x,)=1,x,/100(0,x,100),，设年利率为,i=,0.10,。则此保险给付数额在签单时的现值,Z,的方差,Var(Z,),=,（）。,A,0.0221,B,0.0313,C,0.0462,D,0.0502,E,0.0553,【,答案,】,E,【,解析,】,由于,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,（,2,）终身寿险（趸缴纯保费记为 ）,在,n,年定期寿险中令,n,即得终身寿险的趸缴纯保费：,【,例题,2.11】,考虑一终身寿险，保险金额,b,在死亡时刻给付，,Z,为未来给付的随机变量的现值，已知,=,0.04,，,x+t,=0.02,，,t0,，,E,(,Z,),=,Var,(,Z,),。则,b,=,（）。,A,1.50,B,1.75,C,2.50,D,2.75,E,3.75,【,答案,】,E,【,解析,】,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,【,例题,2.12,】,（,2008,年春季真题）,设,(,x,),的未来寿命,T,=,T,(,x,),的密度函数为：,利率力为,=0.06,，保额为一个单位的终身寿险的现值随机变量为,Z,，那么满足,Pr(,Z,0.9,)=0.9,的分位数,0.9,的值为（）。,A,0.5346,B,0.5432,C,0.5747,D,0.5543,E,0.5655,【,答案,】,E,【,解析,】,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,2,两全保险,n,年两全保险（由,n,年生存保险和,n,年定期寿险组成）：,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,【,例题,2.13,】,（,2008,年春季真题）,30,岁的人购买保额为,1000,元的特殊的,35,年期两全保险，已知在其购买保险时，其两个孩子的年龄分别是,3,岁和,6,岁，保单特殊约定为：如果被保险人死亡时两个孩子的年龄都小于,11,岁，那么给付额为,3000,元，如果被保险人死亡时只有一个孩子的年龄小于,11,岁，那么给付额为,2000,元。在被保险人死亡时立即给付保险金，且,30+,t,=0.04,，,t0,，,=0.06,，,35,E,30,=0.0302,。则此保单的趸缴纯保费为（）元。,A,638,B,766,C,777,D,796,E,800,【,答案,】,D,【,解析,】,由题意可知，该保险相当于保额,1000,元的,35,年期两全保险,+1000,元保额的,8,年期定期保险（,5-8,年内被保险人只有一个孩子小于,11,岁）,+1000,元保额的,5,年期定期保险（,5,年内两个孩子都小于,11,岁），故此保单的趸缴保险费为：,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,【,例题,2.14,】,设,Z,1,是（,x,）岁的人投保死亡即刻赔付,1,的,n,年定期寿险的现值变量，,Z,2,是（,x,）岁的人投保死亡即刻赔付,1,的,n,年定期两全保险的现值变量。已知：,v,n,0.200,，,n,p,x,0.450,，,E,Z,2,0.350,，,Var,Z,2,=0.060,，则,Var,(,Z,1,)=,（）。,A,0.0742,B,0.0845,C,0.0913,D,0.0932,E,0.0969,【,答案,】,E,【,解析,】,令,Z,3,为（,x,）岁的人投保期末赔付,1,的,n,年定期生存保险的现值变量，则有：,根据两全保险与定期寿险和生存保险的关系，有：,Z,2,=,Z,1,+,Z,3,，,所以,E,(,Z,2,)=,E,(,Z,1,)+,E,(,Z,3,),，故,E,(,Z,1,)=,E,(,Z,2,),E,(,Z,3,)=0.35,0.09=0.26,；,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,3,延期寿险,（,1,）延期,h,年的,n,年定期寿险（趸缴纯保费记为 或 ）,（,2,）延期,h,年的终身寿险（趸缴纯保费记为 ）,（,3,）延期,h,年的,n,年两全寿险（趸缴纯保费记为 ）,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,【,例题,2.15,】,100,个独立生命购买一份,5,年延期终身寿险，保额为,10,，并且在死亡发生时支付，已知,=0.04,，,=0.06,，,F,为保险人从该团体收取的保费。运用正态近似计算,F,为（），才能使得保险人有能力支付所有索赔的概率为,0.95,。,A,270,B,280,C,290,D,300,E,310,【,答案,】,B,【,解析,】,设,Z,为单生命给付现值随机变量，,S,为,100,个生命给付现值随机变量，则：,Var,(,Z,)=,E,(,Z,2,),E,2,(,Z,)=11.233,2.426,2,=5.348,E,(,S,)=100,E,(,Z,)=242.6,，,Var,(,S,)=100,Var,(,Z,)=534.8,要使,P,(,FS,)=0.95,，即,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,3,非均衡给付保险,（,1,）按算术数列,n,续年递增的连续型终身寿险,分为,三种,情况：按年递增的终身寿险、按年递增且每年递增,m,次的终身寿险、按年连续递增的终身寿险。,按年递增的终身寿险（趸缴纯保费记为 ）,原理,：若被保险人在第一个保单年度内死亡，则死亡时立即给付保险金,1,元；第二个保单年度内死亡，则死亡时立即给付保险金,2,元；依次类推，即,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,【,例题,2.16,】,（,2008,年春季真题）,50,岁的人购买保险金在死亡时给付的特殊的递增型终身寿险，,Z,表示给付现值随机变量，已知：,则,Var,(,Z,),的值为（）。,A,0.01,B,0.02,C,0.03,D,0.04,E,0.05,【,答案,】D,【,解析,】,由已知条件得：,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,按年度递增且每年递增,m,次的终身寿险（趸缴纯保费记为 ）,原理,：将每个保单年度分为均等的,m,个时间段，若被保险人在第一个保单年的第一个,1/,m,年内死亡，死亡立即给付保险金,1/,m,元，在第一个保单年的第二个,1/,m,年内死亡，则立即给付,2/,m,元，,，在第一个保单年的第,m,个,1/,m,年内死亡，死亡立即给付,1,（即,m,/,m,）元；在第二年保单年的第一个,1/,m,年内死亡，死亡立即给付,1+(1/,m,),元，在第一个保单年的第二个,1/,m,年内死亡，死亡立即给付,1+(2/,m,),元，依次类推，则,按年连续递增的终身寿险（趸缴纯保费记为 ）,原理,：如果被保人在时刻,t,时死亡，则给付死亡保险金,t,元，即,（,2.25,）式的最后一个表达式,表明,：按年连续递增的终身寿险保单等价于由一系列的延期的保险金额为,1,元的连续型终身寿险保单组成。,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,【,例题,2.17,】,（,x,）投保一,10,年期连续递增、死亡即刻给付保险，假设死亡赔付额,b,t,t,，,0,t,10,，利力,0.03,，死力,x+t,0.02,为常数。在正态分布假定下，为了达到有,95%,的把握足够支付此人未来的赔付，则保险公司至少应该收取的保费为（）。,A,3.567,B,3.657,C,3.687,D,3.756,E,3.824,【,答案,】,B,【,解析,】,设此人赔付现值变量为,Z,，收取的保费为,P,，根据题意，有：,Z=,b,t,v,t,=,te,-t,，,0,t,10,则,故,Var,(,Z,),E,(,Z,2,),E,2,(,Z,),3.705,0.7216,2,3.1843,。,所以,Z,N,(0.7216,，,3.1843),，则,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,（,2,）按年递增的,n,年定期寿险（趸缴纯保费记为 ）,原理,：若被保险人在第一个保单年内死亡，立即给付保险金,1,元，在第二个保单年度内死亡，立即给付保险金,2,元，依次类推，在第,n,个保单年度内死亡，立即给付保险金,n,+1,元，则,【,例题,2.18】,已知,=0.06,，,x+t,0.04,，,t,0,，则,=,（）。,A,0.037,B,0.07,C,0.037,D,0.07,E,0.087,【,答案,】,A,【,解析,】,为按算术数列续年递增的,2,年定期保险， 为按年连续递增的,2,年定期寿险，故,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,（,3,）按年递减的,n,年定期寿险（趸缴纯保费记为 ）,原理,：若被保险人在第一个保单年内死亡，立即给付保险金,n,元，在第二个保单年度内死亡，立即给付保险金（,n,1,）元，依次类推，在第,n,个保单年度内死亡，立即给付保险金,1,元，则,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,【,例题,2.19,】,已知（,x,）的人购买死亡即刻赔付,1,的定期寿险趸缴纯保费情况：,假定此人要购买,5,年定期递减寿险，保险赔付额满足：,利率假定和死亡率假定不变，则该递减寿险的趸缴纯保费为（）。,A,0.35,B,0.45,C,0.55,D,0.65,E,0.75,【,答案,】,C,【,解析,】,由已知条件得该递减寿险的趸缴纯保费为：,n,1,0.02,2,0.05,3,0.09,4,0.15,5,0.24,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,4,趸缴纯保费的换算函数表示式,各种人寿保险的趸缴纯保费换算关系式：,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,2.3,死亡均匀分布假设下的寿险模型,以连续型的保险金额为,1,个单位的终身寿险为例，在死亡平均分布的假设条件下，讨论,和 之间的关系,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,在,死亡均分分布,的假设条件下，连续型寿险与离散型寿险的趸缴纯保费的关系为：,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,【,例题,2.20,】,已知年利率,i,=2.5%,，利力恒定为,，并且,q,x,0.10,，,q,x+,1,0.15,。假定生存函数服从死亡均匀分布假设，则,=,（）。,A,0.200,B,0.203,C,0.213,D,0.223,E,0.233,【,答案,】,D,【,解析,】,v,=(1,+i,),-,1,=1.025,-1,，由已知，得,由于 ，,同理有： ，其中,i,是利力为,2,所对应的实际利率。,故由,得：,i,=2,i,i,2,。,所以,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,2.4,递推方程式,1,离散型终身寿险趸缴纯保费的递推方程式,（保险金额均设为,1,元）,A,x,=vq,x,+vp,x,A,x+,1,(2.27),递推方程式（,差分方程式,）：,A,x+,1,A,x,=,iA,x,q,x,(1,A,x+,1,),(2.28),2,连续型终身寿险趸缴纯保费的微分方程式,【,例题,2.21,】,（中国精算师考试样题）,已知,i,0.02,，,p,50,=0.98,，,A,51,A,50,=0.004,，,2,A,51,2,A,50,=0.005,。,Z,为离散型保险保额为,1,的现值随机变量，计算当,x,51,时，,Var,(,Z,) =,（）。,A,0.055,B,0.060,C,0.065,D,0.260,E,0.265,【,答案,】,A,【,解析,】,A,x,=vq,x,+vp,x,A,x+,1,，,2,A,x,=v,2,q,x,+v,2,p,x,2,A,x+,1,。,由已知，有：,0.004=,A,51,A,50,=,A,51,(,vq,50,+,vp,50,A,51,),，,故,A,51,=0.602,；同理，,2,A,51,=0.417252,。,故,Var,(,Z,)=,2,A,51,(,A,51,),2,=0.0548,。,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,【,例题,2.22,】,一个,50,岁的人投保一金额为,1000,的,5,年期死亡年末赔付的两全保险。设,Z,为死亡赔付现值变量，已知： 则,Var,(,Z,)=,（）。,A,2500,B,2600,C,2700,D,2800,E,2900,【,答案,】,C,【,解析,】,可把两全保险分解成死亡保险和生存保险的组合，设,Z,1,为死亡保险的赔付现值变量，,Z,2,为生存保险的赔付现值变量，即,Z,=,Z,1,+,Z,2,。,由 ，得,又由于,Z,1,Z,2,=0,，故,所以,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,中华精算师考试网,官方总站：圣才学习网,