应用数学第4讲-两个重要的极限

,应用数学,两 个 重 要 的 极 限,第四讲,(,Two important Limits,),知识目标,理解两个重要的极限概念,理解复利计算的最终趋势,掌握分割求和从细微到宏观的思想,能力目标,会利用两个重要的极限公式求极限,会建立复利金融公式并预测其走势,能举一反三进行极限的计算,问题一：圆的面积问题,从小学开始，老师就教我们圆的面积公式：,长方形的面积：,三角形的面积：,为什么只有圆的面积计算的时候还要乘以一个常数,?,问题一：圆的面积公式问题,要想回答这个问题，我们需要知道，圆的面积公式是怎么来的！,公元,263,年，我国数学家刘徽,法：割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,为了精确计算圆周率，使,用了一种“,割圆术,”的方,则与圆合体而无所失矣,.,问题一：圆的面积公式问题,要想回答这个问题，我们需要知道，圆的面积公式是怎么来的！,公元,263,年，我国数学家刘徽,法：割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,为了精确计算圆周率，使,用了一种“,割圆术,”的方,则与圆合体而无所失矣,.,问题一：圆的面积公式问题,要想回答这个问题，我们需要知道，圆的面积公式是怎么来的！,公元,263,年，我国数学家刘徽,法：割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,为了精确计算圆周率，使,用了一种“,割圆术,”的方,则与圆合体而无所失矣,.,问题一：圆的面积公式问题,要想回答这个问题，我们需要知道，圆的面积公式是怎么来的！,公元,263,年，我国数学家刘徽,法：割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,为了精确计算圆周率，使,用了一种“,割圆术,”的方,则与圆合体而无所失矣,.,问题一：圆的面积公式问题,要想回答这个问题，我们需要知道，圆的面积公式是怎么来的！,公元,263,年，我国数学家刘徽,法：割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,为了精确计算圆周率，使,用了一种“,割圆术,”的方,则与圆合体而无所失矣,.,问题一：圆的面积公式问题,要想回答这个问题，我们需要知道，圆的面积公式是怎么来的！,公元,263,年，我国数学家刘徽,法：割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,为了精确计算圆周率，使,用了一种“,割圆术,”的方,则与圆合体而无所失矣,.,问题一：圆的面积公式问题,要想回答这个问题，我们需要知道，圆的面积公式是怎么来的！,公元,263,年，我国数学家刘徽,法：割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,为了精确计算圆周率，使,用了一种“,割圆术,”的方,则与圆合体而无所失矣,.,问题一：圆的面积公式问题,要想回答这个问题，我们需要知道，圆的面积公式是怎么来的！,公元,263,年，我国数学家刘徽,法：割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,为了精确计算圆周率，使,用了一种“,割圆术,”的方,则与圆合体而无所失矣,.,问题一：圆的面积公式问题,要想回答这个问题，我们需要知道，圆的面积公式是怎么来的！,公元,263,年，我国数学家刘徽,法：割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,为了精确计算圆周率，使,用了一种“,割圆术,”的方,则与圆合体而无所失矣,.,所谓的正,n,边行的面积，可以将其分解成,n,个等腰三角形，进行,问题一：圆的面积公式问题,计算！,我们知道整个圆周的圆心角等于,2,，,那么当对圆周进行,n,等分的时候，,的顶角大小为：,这样，等腰三角形的高：,等腰三角形的底：,从而，可以确定三角形 面积：,而这样的三角形有,n,个,.,所以，这个内接正,n,边行的面积为：,问题一：圆的面积公式问题,刘徽说：“,割之又割,以至于不可割，则与圆合体而无所失矣！,”,即,要解决这个问题，我们需要知道：,问题一：圆的面积公式问题,如果我们将 看成一个实数,x,那么这个极限就相当于：,第一个重要的极限,在数学里，公式,称为第一个重要的极限,.,注意：第一个重要的极限仅仅是一个公式！,如果当 时，有：，即此时为无穷小量，,那么，我们依然有：,例,1,求下列极限,(1),(2),(3),(4),(5),(6),解,(1),(2),求下列极限,(3),解,(4),(5),求下列极限,(6),练 习,(1),(2),(3),(4),(5),(6),问题二；银行存贷问题,某同学大学毕业几年后，有了,20,万元的存款，采用连续复利的形式,进行计息,.,年利率为,r,=4%,，该同学打算,10,年后连本带息取出，那,那么,10,年后，该同学能够取出多少元？,分析,假设本金为,A,银行一年结算,n,次，共计存款,m,年,每次结算的利率应为：,第一年第一次结算的本息和：,第一年第二次结算的本息和：,第一年第三次结算的本息和：,问题二；银行存贷问题,某同学大学毕业几年后，有了,20,万元的存款，采用连续复利的形式,进行计息,.,年利率为,r,=4%,，该同学打算,10,年后连本带息取出，那,那么,10,年后，该同学能够取出多少元？,第一年第,n,次结算：,第二年第一次结算：,第二年第,n,次结算：,问题二；银行存贷问题,某同学大学毕业几年后，有了,20,万元的存款，采用连续复利的形式,进行计息,.,年利率为,r,=4%,，该同学打算,10,年后连本带息取出，那,那么,10,年后，该同学能够取出多少元？,第,m,年第,n,次结算的本息和：,随着年数,m,，和每年结算次数,n,的不断增大，他会成为,亿万富翁吗？,要想解决这个问题，需要考虑极限：,=,随着,n,的不断增大，我们把这个极限归纳为：,=,问题二；银行存贷问题,第二个重要的极限,从上面的图像中，我们看到，随着自变量,x,的增大函数值不断接,近于常数,e,！,这个公式还有两个等价公式：,第二个重要的极限,常数,e,与,一样，都是自然界中比较常见的无理数,.,在中学时期，我们学习过，当对数函数的底是,e,时，称为自然对数,因此，我们常常称,e,为,自然对数的底,！,这个数是,1772,年由欧拉,(Euler,，瑞士人，,1707-1783,，,18,世纪最伟大,的数学家,),首先使用的,.,除了,e,外，欧拉还发现了：,欧拉常数,第二个重要极限公式透析,（,1,）,极限类型为,（,2,）,必须是 的形式,且底数中的,（,3,）,中间必须用,“,+,”,号连接,与指数上的 必须是倒数关系；,例,2,求下列极限,解,(1),原式,=,例,2,求下列极限,解,(2),原式,=,例,2,求下列极限,解,(3),原式,=,(4),原式,=,练 习,无穷小等价代换,如果有 ，且 、,则有：,这是因为,常见的等价无穷小代换,一般,:,当 时,注 意,等价无穷小量代换过程中，上面的公式里面的是一个函数也成立,例如，我们知道 时，,但是，如果当 时，有,我们依然有：,(,相当于,),时，,等价无穷小量代换只能在两个函数相乘或者相除的时候才能使用，,当两个无穷小量相加或者相减的时候一般,不能,使用,.,例题,1.,2.,3.,4.,解,1,当 时，所以,例题,1.,2.,3.,4.,解,2,当 时，所以,例题,1.,2.,3.,4.,解,3,当 时，所以,例题,1.,2.,3.,4.,解,4,当 时，所以,作 业,P60 3,