复合函数求导法则

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,复合函数求导法则,先回忆一下一元复合函数的微分法则,则复合函数,对,x,的导数为,这一节我们将把这一求导法则推广到多元函数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元,复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？,这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数,如,它是由,复合而成的,由于,f,没有具体给出,一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。,一、链式法则,证,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数 称为,全导数.,上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：,链式法则如图示,称为标准法则或,这个公式的特征：,函数,有两个自变量,x,和,y,故法则中包含,两个公式；,由于在复合过程中有两个中间变量,u,和,v,故法则中每一个公式都是两项之和，这两项分别含有,每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似，,即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数”,多元复合函数的求导法则简言之即：,“分道相加，连线相乘”,特殊地,其中,即,令,两者的区别,区别类似,注,此公式可以推广到任意多个中间变量和任意多个自变量的情形,如,则,从以上推广中我们可以得出：所有公式中两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自变量的个数无关,关于多元复合函数求偏导问题,这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用公式,用图示法表示出函数的复合关系,函数对某个自变量的偏导数的结构,（项数及项的构成）,的结构是求抽象的复合函数的二阶偏导数的关键,弄清,仍是复合函数,且复合结构与原来的,f,(,u,v,)完全相同,即仍是以,u,v,为中间变量，以,x,y,为自变量的复合函数,因此求它们关于,x,y,的偏导数时必须使链式法则,在具体计算中最容易出错的地方是对,再求偏导数这一步,它 是与,f,(,u,v,)具有相同结构的复合函数易被误认为仅是,u,的函数，从而导致漏掉,原因就是不注意,求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量,注意引用这些公式的条件,外层函数可微（偏导数连续）,内层函数可导,混合偏导,的合并问题,视题设条件,解,解,解,令,记,同理有,于是,二、全微分形式不变性,全微分形式不变形的实质,：,无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理,且作微分运算的结果对自变量的微分,来说是线性的,从而为解题带来很多方便，而且也不易出错,例5 设,各函数满足求导条件,求,解一,变量间的关系如下图所示,这里变量间的关系比较混乱,用全微分来解,由全微分定理,注意到,x,z,是独立自变量,解二,由全微分定义,注,解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错,故,三、小结,1、链式法则,（分三种情况）,（特别要注意课中所讲的特殊情况）,2、全微分形式不变性,（理解其实质）,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,