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,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,教材研读,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,考点突破,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,第八节直线与圆锥曲线,1,总纲目录,教材研读,1.,直线与圆锥曲线位置关系的判断,考点突破,2.,直线与圆锥曲线相交的弦长问题,3.,弦,AB,的中点与直线,AB,斜率的关系,考点二弦长问题,考点一直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用,考点三中点弦问题,2,1.直线与圆锥曲线位置关系的判断,判断直线,l,与圆锥曲线,r,的位置关系时,通常将直线,l,的方程,Ax,+,By,+,C,=0,(,A,B,不同时为0)与圆锥曲线,r,的方程,F,(,x,y,)=0联立,消去,y,(也可以消去,x,),得到一个关于变量,x,(或变量,y,)的方程,即联立,消去,y,(或,x,),后得,ax,2,+,bx,+,c,=0(或,ay,2,+,by,+,c,=0).,(1)当,a,0时,若,0,则直线,l,与曲线,r,相交;若,=0,则直线,l,与曲线,r,相切;若,b,0)上一点,P,(,x,0,y,0,)处的切线方程是,+,=1.,(2)过椭圆,+,=1(,a,b,0)外一点,P,(,x,0,y,0,)所引两条切线的切点弦所在直,线方程是,+,=1.,(3)椭圆,+,=1(,a,b,0)与直线,Ax,+,By,+,C,=0相切的条件是,A,2,a,2,+,B,2,b,2,=,C,2,.,圆锥曲线的切线方程,5,2.双曲线的切线方程,(1)双曲线,-,=1(,a,0,b,0)上一点,P,(,x,0,y,0,)处的切线方程是,-,=1.,(2)过双曲线,-,=1(,a,0,b,0)外一点,P,(,x,0,y,0,)所引两条切线的切点弦所,在直线方程是,-,=1.,(3)双曲线,-,=1(,a,0,b,0)与直线,Ax,+,By,+,C,=0相切的条件是,A,2,a,2,-,B,2,b,2,=,C,2,.,6,3.抛物线的切线方程,(1)抛物线,y,2,=2,px,(,p,0)上一点,P,(,x,0,y,0,)处的切线方程是,y,0,y,=,p,(,x,+,x,0,).,(2)抛物线,y,2,=2,px,(,p,0)外一点,P,(,x,0,y,0,)所引两条切线的切点弦所在直线方,程是,y,0,y,=,p,(,x,+,x,0,).,(3)抛物线,y,2,=2,px,(,p,0)与直线,Ax,+,By,+,C,=0相切的条件是,pB,2,=2,AC,.,7,直线,l,:,f,(,x,y,)=0,圆锥曲线,r,:,F,(,x,y,)=0,l,与,r,有两个不同的交点,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则,A,、,B,两点的坐标是方程组,的两组解,方程组消元后化为,关于,x,(或,y,)的一元二次方程,ax,2,+,bx,+,c,=0(或,ay,2,+,by,+,c,=0),判别式,=,b,2,-4,ac,应有,0,所以,x,1,x,2,(或,y,1,y,2,)是方程,ax,2,+,bx,+,c,=0(或,ay,2,+,by,+,c,=0)的两个根.,由根与系数的关系得,x,1,+,x,2,=-,x,1,x,2,=,以此结合,弦长公式可整体代入求值.,A,、,B,两点间的距离|,AB,|=,|,x,1,-,x,2,|,=,(其中,k,为直线,l,的斜率),也可以写成关于,y,的形式,即|,AB,|=,|,y,1,-,y,2,|,=,(,k,0).特殊地,如果,2.直线与圆锥曲线相交的弦长问题,8,直线,l,过抛物线的焦点,抛物线方程以,y,2,=2,px,(,p,0)为例,那么|,AB,|=,x,1,+,x,2,+,p,.,3.弦,AB,的中点与直线,AB,斜率的关系,(1)已知,AB,是椭圆,+,=1(,a,b,0)的一条弦,其中点,M,的坐标为(,x,0,y,0,).运,用点差法求直线,AB,的斜率,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,)(,x,1,x,2,),A,B,都在椭圆上,两式相减得,+,=0,+,=0,=-,=-,故,k,AB,=-,.,(2)已知,AB,是双曲线,-,=1(,a,0,b,0)的一条弦,且,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),x,1,x,9,2,弦中点,M,(,x,0,y,0,),则与(1)同理可知,k,AB,=,.,(3)已知,AB,是抛物线,y,2,=2,px,(,p,0)的一条弦,且,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),x,1,x,2,弦中,点,M,(,x,0,y,0,).,则,两式相减得,-,=2,p,(,x,1,-,x,2,),(,y,1,+,y,2,)(,y,1,-,y,2,)=2,p,(,x,1,-,x,2,),=,=,即,k,AB,=,.,10,1.直线,y,=,kx,-,k,+1与椭圆,+,=1的位置关系为,(),A.相交B.相切C.相离D.不确定,答案,A由于直线,y,=,kx,-,k,+1=,k,(,x,-1)+1过定点(1,1),又(1,1)在椭圆内,故,直线与椭圆必相交.,A,11,2.直线,y,=,x,+3与双曲线,-,=1的交点个数是,(),A.1B.2C.1或2D.0,答案,A因为直线,y,=,x,+3与双曲线的渐近线,y,=,x,平行,所以它与双,曲线只有1个交点.,A,12,3.双曲线,C,:,-,=1(,a,0,b,0)的右焦点为,F,直线,l,过焦点,F,且斜率为,k,则,直线,l,与双曲线,C,的左,右两支都相交的充要条件是,(),A.,k,-,B.,k,或,k,-,D.-,k,答案,D由双曲线的渐近线的几何意义知-,k,0)的焦点,直线,l,与抛物线,C,交于,A,B,两点,若|,AB,|=6,则,p,的值为,(),A.,B.,C.1D.2,答案,B由,得,x,2,-(2,m,+2,p,),x,+,m,2,=0,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则,x,1,+,x,2,=2,m,+2,p,又直线,l,:,x,-,y,-,m,=0经过抛物线,C,:,y,2,=2,px,(,p,0)的焦点,-0-,m,=0,解得,m,=,又|,AB,|=,x,1,+,+,x,2,+,=,x,1,+,x,2,+,p,=2,m,+3,p,=4,p,=6,p,=,故选B.,B,14,5.过点(0,1)作直线,使它与抛物线,y,2,=4,x,仅有一个公共点,这样的直线有,条.,答案,3,3,解析,当过点(0,1)的直线的斜率不存在时,方程为,x,=0,与抛物线,y,2,=4,x,仅有一个公共点,符合题意.,当过点(0,1)的直线的斜率存在时,设为,k,此时直线为,y,=,kx,+1,由,得,k,2,x,2,+(2,k,-4),x,+1=0,(*),当,k,=0时,方程(*)只有一解,即直线与抛物线只有一个公共点,符合题意,当,k,0时,由,=(2,k,-4),2,-4,k,2,=0,解得,k,=1,即直线,y,=,x,+1与抛物线相切,综上,符合条件的直线有3条.,15,典例1,在平面直角坐标系,xOy,中,已知椭圆,C,1,:,+,=1(,a,b,0)的左焦,点为,F,1,(-1,0),且点,P,(0,1)在,C,1,上.,(1)求椭圆,C,1,的方程;,(2)设直线,l,同时与椭圆,C,1,和抛物线,C,2,:,y,2,=4,x,相切,求直线,l,的方程.,考点一直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用,考点突破,16,解析,(1)由题意得,a,2,-,b,2,=1,b,=1,则,a,=,椭圆,C,1,的方程为,+,y,2,=1.,(2)易得直线,l,的斜率存在且不为零,则可设,l,的方程为,y,=,kx,+,b,(,k,0).,由,消去,y,整理得(1+2,k,2,),x,2,+4,kbx,+2,b,2,-2=0,1,=16,k,2,b,2,-8(,b,2,-1)(2,k,2,+1)=16,k,2,+8-8,b,2,=0,即,b,2,=2,k,2,+1.,由,消去,y,整理得,k,2,x,2,+(2,kb,-4),x,+,b,2,=0,17,2,=(2,kb,-4),2,-4,k,2,b,2,=16-16,kb,=0,即,kb,=1,由得,b,=,代入得,=2,k,2,+1,即2,k,4,+,k,2,-1=0.,令,t,=,k,2,则2,t,2,+,t,-1=0,解得,t,1,=,或,t,2,=-1(舍),或,l,的方程为,y,=,x,+,或,y,=-,x,-,.,18,方法技巧,(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可直接求解相应方程组得到交,点坐标,也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定,需注意利,用判别式的前提是二次项系数不为0.,(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元,得到一,元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程为一次,方程;若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.,19,1-1,若直线,y,=,kx,+2与双曲线,x,2,-,y,2,=6的右支交于不同的两点,那么,k,的取,值范围是,(),A.,B.,C.,D.,D,20,答案,D由,消去,y,得(1-,k,2,),x,2,-4,kx,-10=0,直线与双曲线右支交于不同的两点,解得-,k,b,0)的离心,率是,且过点,P,(,1).直线,y,=,x,+,m,与椭圆,C,相交于,A,B,两点.,(1)求椭圆,C,的方程;,(2)求,PAB,的面积的最大值.,考点二弦长问题,24,解析,(1)设椭圆,C,:,+,=1(,a,b,0)的半焦距为,c,.,因为椭圆,C,的离心率是,所以,=,=1-,=,即,a,2,=2,b,2,.,由,解得,所以椭圆,C,的方程为,+,=1.,(2)将,y,=,x,+,m,代入,+,=1,消去,y,整理得,x,2,+,mx,+,m,2,-2=0.,令,=2,m,2,-4(,m,2,-2)0,解得-2,m,b,0)的离心率为,过椭圆右焦点,F,作两条互相垂直的弦,AB,与,CD,.当直线,AB,的斜率为0,时,AB,=4.,(1)求椭圆的方程;,(2)若|,AB,|+|,CD,|=,求直线,AB,的方程.,28,解析,(1)由题意知,e,=,=,2,a,=4.,又,a,2,=,b,2,+,c,2,解得,a,=2,b,=,c,=1,所以椭圆方程为,+,=1.,(2)当两条弦中的一条弦所在直线的斜率为0时,另一条弦所在直线的,斜率不存在,由题意知|,AB,|+|,CD,|=7,不满足条件.,当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时,设直线,AB,的方程为,y,=,k,(,x,-1),A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则直线,CD,的方程为,y,=-,(,x,-1).,29,将直线,AB,的方程代入椭圆方程中并整理得(3+4,k,2,),x,2,-8,k,2,x,+4,k,2,-12=0,则,x,1,+,x,2,=,x,1,x,2,=,所以|,AB,|=,|,x,1,-,x,2,|,=,=,.,同理,|,CD,|=,=,所以|,AB,|+|,CD,|=,+,=,=,解得,k,=,1,所以直线,AB,的方程为,x,-,y,-1=0或,x,+,y,-1=0.,30,典例3,抛物线,C,的顶点为原点,焦点在,x,轴上,直线,x,-,y,=0与抛物线,C,交于,A,B,两点,若,P,(1,1)为线段,AB,的中点,则抛物线,C,的方程为,(),A.,y,=2,x,2,B.,y,2,=2,x,C.,x,2,=2,y,D.,y,2,=-2,x,考点三 中点弦问题,解析,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,
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