单自由度习题

*,*,（船体振动）单自由度系统的振动,*,/17,大连理工大学船舶工程学院,单自由度系统的振动习题,洪 明（教授）,施 卫 华（研二）,Tel:13624255737,E-mail,：,本次课的内容,常见振系,1,直接边界元的数值积分,2,问题与下一步的工作,3,直接边界元的程序框图,3,一、常见振系,1.,单摆和复摆,对复摆，根据定轴转动微分方程有：,当作微幅振动时，有,sin,上式变为：,系统的固有频率为：,2.,水平摆,根据定轴转动微分方程有：,当作微幅振动时，有：,再由静平衡条件：,上式化简为：,系统的固有频率为：,3.,扭振系统,系统的固有频率为：,所示的扭振系统由均质圆盘中心垂直连接一根弹性细轴构成。,系统运动微分方程为：,其中,:J,为均质圆盘绕质心的转动惯量,;k,为轴的扭转刚度。,4.,梁,-,质量系统,梁的挠度与作用力成正比,令其比例系数为,k,。设,w,为质量块偏离静平衡位置的位移。,不计梁的质量，梁对质量块的反力为：,质量块的运动微分方程为：,由于平衡位置时有,，上式可可写为：,1.1,求,各系统的自由振动,频率,。,当弹簧并联时：,当弹簧串联时：,解：,(a),等效法或者写出微分方程,。,由此可得：,(b),静,变形,法,梁的末端挠度,有,等式,：,解得：,扩展：若此题改成右图。,其中,为弹簧的变形量，,为梁末端的挠度。,静变形为两部分组成：,(c),静,变形,法,做等效如右下图,：,解得：,其中,为右端梁弯曲产生的挠度，,为左端梁在,B,点,产生转角引起的挠度。,(d),静,变形,法,设弹簧,静变形为,，弹簧,静变形为 。,梁的挠度：,几何关系：,静力矩方程：,静力方程：,(e),静,变形,法,中间截断，作用力为,：,(f),写出微分方程。,静平衡时，,其中,为平衡相位角。,很小时，,微振动时，由动量矩定理：,(h),概念问题：固有频率为结构固有属性，与结构样式、边界条件有关，与外力无关。,本题把外力去掉，求解出来的固有频率就是所要,的固有频率：,1.2,求等效弹簧常数。,解：对刚性杆，,端受力 ，,端受力 。,由几何关系：,1.3,求,，,的关系。,解：,1.4,求等效弹簧常数。,解：可以选取不同的广义坐标，但结果肯定一样。,初始张力很大，振动微幅，,发生微幅振动微分方程：,静平衡位置为：,取两端与水平的夹角为广义坐标。,取 处的垂向位移为广义坐标。,静平衡位置为：,1.7,求旋转振动周期。,解：等效法。,取,处垂向位移,为广义坐标。,有：,而等效系统的动能为：,有的同学使用能量法计算时出现错误：,因为：,系统的动能为：,由平衡位置有：,系统的势能为：,由能量守恒有：,1.8,求旋转振动周期。,解：等效法。,此题可看成,1.7,题的一般情况。,取,为广义坐标。,